Majoration

[Anonyme]

Bonjour, je me demandais s il y avait un moyens de majorer: (j et k sont des
entiers)
facteur de (1-j/n) avec n fixé dans N* et j qui varie de 0 à k avec k
compris entre 0 et n-1,
J'aimerais la majorer en fct que de n avec qqch qui tendent vers 0 lorsque n
tend vers + infini...
merci!

[Anonyme]

"artie" a écrit dans le message de news:
pE2Ad.15295$Tn1.552196@news20.bellglobal.com...
> Bonjour, je me demandais s il y avait un moyens de majorer: (j et k sont
des
> entiers)
> facteur de (1-j/n) avec n fixé dans N* et j qui varie de 0 à k avec k
> compris entre 0 et n-1,
> J'aimerais la majorer en fct que de n avec qqch qui tendent vers 0 lorsque
n
> tend vers + infini...

Tu n'est pas prêt d'y arriver. Pour k=0, ton produit fait 1 !!! Si k est un
nombre indépendant de n alors tu as un produit fini de facteurs qui tendent
vers 1 donc le produit tend vers 1 (donc pas de majoration par une
expression tendant vers 0)

Par contre, si tu considères le produit
Sn=prod(j=0 à n-1, (1-j/n)) alors
(1/n) * lnSn = (1/n) * sum(j=0 à n-1, ln(1-j/n) )
= (1/n) * sum(j=1 à n-1, ln(1-j/n) )

Cela ressemble à une belle somme de Riemann mais la fonction ln(1-x) n'est
pas continue sur [0,1] donc on doit traiter à la main la somme de Riemann

La fonction x-->ln(1-x) étant décroissante sur [0,1[, on a la majoration
suivante (comparaison "série-intégrale")
Pour tout j compris entre 2 et n-1
(1/n) *ln(1-j/n)
(1/n) ln Sn <= ln(1-1/n)+ [ln(n)]/n -1-2/n

et en multipliant de par et d'autre par n, on obtient

ln Sn <= n*ln(1-1/n) + ln(n) -n -2
donc
Sn <= exp(n*ln(1-1/n) + ln(n) -n -2)

L'expression exp(n*ln(1-1/n) + ln(n) -n -2) tend vers 0 car n*ln(1-1/n)
tend vers -1 (ln(1+x)~x en 0) et ln(n)-n tend vers -oo (-n est le terme
dominant) et tu as la majoration souhaitée

*********************
http://www.mathematiques.fr.st
********************

[Anonyme]

merci!
"masterbech" a écrit dans le message news:
41d10025$0$15032$626a14ce@news.free.fr...
>
>
>
>
> "artie" a écrit dans le message de news:
> pE2Ad.15295$Tn1.552196@news20.bellglobal.com...[color=green]
> > Bonjour, je me demandais s il y avait un moyens de majorer: (j et k sont
> des
> > entiers)
> > facteur de (1-j/n) avec n fixé dans N* et j qui varie de 0 à k avec k
> > compris entre 0 et n-1,
> > J'aimerais la majorer en fct que de n avec qqch qui tendent vers 0[/color]
lorsque
> n[color=green]
> > tend vers + infini...
>
> Tu n'est pas prêt d'y arriver. Pour k=0, ton produit fait 1 !!! Si k est[/color]
un
> nombre indépendant de n alors tu as un produit fini de facteurs qui
tendent
> vers 1 donc le produit tend vers 1 (donc pas de majoration par une
> expression tendant vers 0)
>
> Par contre, si tu considères le produit
> Sn=prod(j=0 à n-1, (1-j/n)) alors
> (1/n) * lnSn = (1/n) * sum(j=0 à n-1, ln(1-j/n) )
> = (1/n) * sum(j=1 à n-1, ln(1-j/n) )
>
> Cela ressemble à une belle somme de Riemann mais la fonction ln(1-x) n'est
> pas continue sur [0,1] donc on doit traiter à la main la somme de Riemann
>
> La fonction x-->ln(1-x) étant décroissante sur [0,1[, on a la majoration
> suivante (comparaison "série-intégrale")
> Pour tout j compris entre 2 et n-1
> (1/n) *ln(1-j/n) (la longueur de l'intervalle [(j-1)/n, j/n] est /n)
>
> En sommant sur j=2 à n-1 et en utilisant la relation de Chasles, tu
obtiens
> (1/n) * sum( j=2 à n-1, ln(1-j/n) )
> Le changement de variable x int(t=1/n à t=1-1/n, ln(1-x) dx = int(t=1/n à t=1-1/n, ln(x) dx
> =[ln(1-1/n)]*(1-1/n)-[ln(1/n)]/n -1-2/n
> (par IPP pour par primitivation)
>
> Par conséquent,
> (1/n) ln Sn -(1/n)* ln(1-1/n)
> (1/n) ln Sn
> et en multipliant de par et d'autre par n, on obtient
>
> ln Sn donc
> Sn
> L'expression exp(n*ln(1-1/n) + ln(n) -n -2) tend vers 0 car n*ln(1-1/n)
> tend vers -1 (ln(1+x)~x en 0) et ln(n)-n tend vers -oo (-n est le terme
> dominant) et tu as la majoration souhaitée
>
> *********************
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>
>

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merci!
"masterbech" a écrit dans le message news:
41d10025$0$15032$626a14ce@news.free.fr...
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>
>
> "artie" a écrit dans le message de news:
> pE2Ad.15295$Tn1.552196@news20.bellglobal.com...[color=green]
> > Bonjour, je me demandais s il y avait un moyens de majorer: (j et k sont
> des
> > entiers)
> > facteur de (1-j/n) avec n fixé dans N* et j qui varie de 0 à k avec k
> > compris entre 0 et n-1,
> > J'aimerais la majorer en fct que de n avec qqch qui tendent vers 0[/color]
lorsque
> n[color=green]
> > tend vers + infini...
>
> Tu n'est pas prêt d'y arriver. Pour k=0, ton produit fait 1 !!! Si k est[/color]
un
> nombre indépendant de n alors tu as un produit fini de facteurs qui
tendent
> vers 1 donc le produit tend vers 1 (donc pas de majoration par une
> expression tendant vers 0)
>
> Par contre, si tu considères le produit
> Sn=prod(j=0 à n-1, (1-j/n)) alors
> (1/n) * lnSn = (1/n) * sum(j=0 à n-1, ln(1-j/n) )
> = (1/n) * sum(j=1 à n-1, ln(1-j/n) )
>
> Cela ressemble à une belle somme de Riemann mais la fonction ln(1-x) n'est
> pas continue sur [0,1] donc on doit traiter à la main la somme de Riemann
>
> La fonction x-->ln(1-x) étant décroissante sur [0,1[, on a la majoration
> suivante (comparaison "série-intégrale")
> Pour tout j compris entre 2 et n-1
> (1/n) *ln(1-j/n) (la longueur de l'intervalle [(j-1)/n, j/n] est /n)
>
> En sommant sur j=2 à n-1 et en utilisant la relation de Chasles, tu
obtiens
> (1/n) * sum( j=2 à n-1, ln(1-j/n) )
> Le changement de variable x int(t=1/n à t=1-1/n, ln(1-x) dx = int(t=1/n à t=1-1/n, ln(x) dx
> =[ln(1-1/n)]*(1-1/n)-[ln(1/n)]/n -1-2/n
> (par IPP pour par primitivation)
>
> Par conséquent,
> (1/n) ln Sn -(1/n)* ln(1-1/n)
> (1/n) ln Sn
> et en multipliant de par et d'autre par n, on obtient
>
> ln Sn donc
> Sn
> L'expression exp(n*ln(1-1/n) + ln(n) -n -2) tend vers 0 car n*ln(1-1/n)
> tend vers -1 (ln(1+x)~x en 0) et ln(n)-n tend vers -oo (-n est le terme
> dominant) et tu as la majoration souhaitée
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