Inégalités: Hölder, Minkowsky...

[Anonyme]

Bonjour,

Je dois majorer l'intégrale

int(u' * v') + int (u * v)

par

[int(u'^2 + u^2)]^0.5 * [int(v'^2 + v^2)]^0.5

J'ai esayé avec Hölder et Cauchy-Schwartz, mais sans succès.
Je n'arrive pas à groupr les u ensemble, et et les v ensemble.

Merci de me dire s'il existe une autre égalité du même ordre, une
astuce, ou si je dois simplement persister avec les inégalités
sus-mentionnées...

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Merci de me dire s'il existe une autre égalité du même ordre, une
> astuce, ou si je dois simplement persister avec les inégalités
> sus-mentionnées...

Dans ce genre de truc, il est possible que des inégalités du style
(a-b)^2 >= 0 te soient utiles.

Mais là comme ça je suis pas sûr de mon coup


--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :

> Dans ce genre de truc, il est possible que des inégalités du style
> (a-b)^2 >= 0 te soient utiles.
>
> Mais là comme ça je suis pas sûr de mon coup

OK, merci, je vais partir sur cette piste.

[Anonyme]

Oodini a écrit :

> Je dois majorer l'intégrale
>
> int(u' * v') + int (u * v)
>
> par
>
> [int(u'^2 + u^2)]^0.5 * [int(v'^2 + v^2)]^0.5

Bon, après y être revenu l'esprit frais, j'ai trouvé.
Il fallait passer par un produit (u+u')*(v+v')...

[Anonyme]

Oodini wrote:
> Oodini a écrit :
>[color=green]
>> Je dois majorer l'intégrale
>>
>> int(u' * v') + int (u * v)
>>
>> par
>>
>> [int(u'^2 + u^2)]^0.5 * [int(v'^2 + v^2)]^0.5
>
>
> Bon, après y être revenu l'esprit frais, j'ai trouvé.
> Il fallait passer par un produit (u+u')*(v+v')...[/color]

Tu disais que Cauchy-Schwarz ne donnait rien. Mais c'est exactement
Cauchy-Schwarz. Je m'explique :

On bose sur l'espace vectoriel des fonctions continues de classe C1 de R
dans R (ou encore, à un niveau non-totalement-élémentaire, on exige
seulement que la dérivée "existe" et soit dans l'espace L^2 des
fonctions mesurables de carré intégrable. On appelle ça un espace de
Sobolev).

Sur cet espace vectoriel

(u,v) ----> int (u'v'+uv)

est une forme bilinéaire, symétrique, positive.

Pour montrer qu'elle est définie, soit u dans cet espace vectoriel.
Si int(u'^2+u^2)=0, alors u'=0 et u=0. OK.

Il s'agit donc d'un produit scalaire ! On le notera .

Maintenant l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne

inf. ou ég. ||u|| ||v||
Et retraduit dans ton cas, on obtient bien ton inégalité.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est un résultat valable pour ton produit
scalaire. Pour le retrouver, remarquer que

0 inf. ou eg. || u + lambda.v||^2
= + 2lambda. + lambda^2
Ceci étant valable pour tout lambda, le discriminant (réduit, c'est plus
élégant) de ce polynôme en lambda est négatif. Donc

^2 - ||u||^2 ||v||^2 négatif. Ce qui donne naturellement
l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

C'est strictement Cauchy-Schwarz.

J'attends impatiemment tes futures questions. C'est drôle les
distributions, même quand c'est "seulement" des Sobolev...

Guillaume Yziquel