Idéal premier

[Anonyme]

bonjour à tous

J'ai du mal a résoudre cet exoercice, concernant les idéaux premiers, donc
si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait bien...

Un ideal I d'un anneau A est dit premier s'il vérifie: Quels que soit (QQS)
x,y dansA; xy appartient à A implique x appartient à I ou y appartient à I .

Quels sont les idéaix premiers de Z ?
Soit A un anneau dont tout idéal est premier. Montrer que A est un corps.


Voila, je vous remercie d'anvance pour votre aide.

[Anonyme]

> Quels sont les idéaix premiers de Z ?

Indication: demande-toi pourquoi un idéal premier s'appelle premier.

--
Julien

[Anonyme]

"Aurélia" wrote
> Un ideal I d'un anneau A est dit premier s'il vérifie: Quels que soit (QQS)
> x,y dansA; xy appartient à A implique x appartient à I ou y appartient à I .

On impose aussi I différent de A

> Soit A un anneau dont tout idéal est premier. Montrer que A est un corps.

Supposons que tout idéal de A est premier (donc A différent de {0}).
Cela entraîne en particulier que A est intègre, car {0} est un idéal
de A, donc premier, donc tout produit d'éléments non nuls est non nul.
Soit x un élément non nul de A. L'idéal engendré par x^2 est premier.
Or x*x est dedans, donc x aussi. Ainsi il existe un a dans A tel que
x=a*x^2, et comme x différent de 0 et A intègre, ax=1, donc x est
inversible.

--
Julien