Géométrie-démonstration

[Anonyme]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai comme qui dirait une punition à faire pour la semaine prochaine et je voudrais rendre
un travail impec'. Si quelqu'un pouvait jeter un oeil sur ma résolution de problème, ce
serait sympa.

Problème : Trois droites issues d'un point S coupent deux droites parallèles d et d' en
A,B,C et A',B',C' respectivement. Démontrer que les points d'intersection P et Q des
diagonales du trapèze ABB'A' et de celles du trapèze BCC'B' se trouvent sur une droite
parallèle à d.

Figure explicative :
S



d ........................ A ................B.................C........

P Q

d'.............A'..................................B'...........................C'


Démonstration :
1) D'après la théorie des angles égaux :
l'angle : BAB'=AB'A' (alternes-internes)
ABA'=BA'B' (alternes-internes)
APB=A'PB' (opposés par le sommet)
Donc les triangles ABP et A'B'P ont les mêmes angles, mais pas nécessairement les
mêmes mesures de longueurs.
C'est le théorème de Thalès (et ses implications) qui donne le rapport de mesures de
longueurs entre ces deux triangles. En effet, on a :
SA/SA' = AB/A'B' = mettons "R" (pour "Rapport").
D'où : (hauteur issue de P sur AB) / (hauteur issue de P sur A'B') = R aussi.

2) Le même raisonnement appliqué aux triangles BCQ et B'C'Q conduit à :
SB/SB' = BC/B'C' = R également, car toujours d'après Thalès, SA/SA' = SB/SB'
D'où, encore une fois, :
(hauteur issue de Q sur BC) / (hauteur issue de Q sur B'C') = R

3) Et pour : I = le pied de la hauteur issue de P sur AB
I' = le pied de la hauteur issue de P sur A'B'
J = le pied de la hauteur issue de Q sur BC
J' = le pied de la hauteur issue de Q sur B'C'
on a : PI / PI' = R = QJ / QJ'
et comme, par construction, I J J' I' est un rectangle (4 côtés parallèles 2 à 2 et
4 angles droits) , où PI+PI' = QJ+QJ', on a finalement :
PI = QJ et PI' = QJ'.

D'où P et Q, points distincts, se trouvent à une même distance de la droite d, et
du même côté de cette droite. Donc P et Q sont sur
une droite parallèle à d.

Un grand merci pour vos critiques

Gibbs.

[Anonyme]

Gibbs écrivait :

> 1) D'après la théorie des angles égaux :

C'est un bien grand mot...

> Donc les triangles ABP et A'B'P ont les mêmes angles, mais pas
> nécessairement les mêmes mesures de longueurs.

Pour faire plus court : ils sont semblables.

> PI / PI' = R = QJ / QJ'
> PI+PI' = QJ+QJ', on a finalement :
> PI = QJ et PI' = QJ'.

Ca ce n'est pas immédiat, il faut expliquer :
PI / PI' = R = QJ / QJ'
donc QJ'PI = PI'QJ

D'autre part,
(PI+PI')QJ' = QJ'PI + PI'QJ'
= PI'QJ + PI'QJ'
= PI'(QJ+QJ')

et comme PI+PI'=QJ+QJ', on peut simplifier ce qui est entre parenthèses, il
reste QJ'=PI'.

Le reste est (très) bon.
Très jolie démo en tous cas...
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message news:
XnF93FBE04E57BD3michel@193.252.19.141...
> Gibbs écrivait :
>[color=green]
> > 1) D'après la théorie des angles égaux :
>
> C'est un bien grand mot...
>
> > Donc les triangles ABP et A'B'P ont les mêmes angles, mais pas
> > nécessairement les mêmes mesures de longueurs.
> Pour faire plus court : ils sont semblables.[/color]

> Ah ben oui, maintenant ça me revient.
[color=green]
> > PI / PI' = R = QJ / QJ'
> > PI+PI' = QJ+QJ', on a finalement :
> > PI = QJ et PI' = QJ'.
> Ca ce n'est pas immédiat, il faut expliquer :
> PI / PI' = R = QJ / QJ'
> donc QJ'PI = PI'QJ
> D'autre part,
> (PI+PI')QJ' = QJ'PI + PI'QJ'
> = PI'QJ + PI'QJ'
> = PI'(QJ+QJ')
> et comme PI+PI'=QJ+QJ', on peut simplifier ce qui est entre parenthèses, il
> reste QJ'=PI'.[/color]

> C'est vrai que c'est plus précis comme ça. Merci.

> Le reste est (très) bon.
> Très jolie démo en tous cas...

....N'en jetez plus.
Et encore merci pour les remarques.

Gibbs.

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message news:
XnF93FBE04E57BD3michel@193.252.19.141...
> Gibbs écrivait :
>[color=green]
> > 1) D'après la théorie des angles égaux :
>
> C'est un bien grand mot...
>
> > Donc les triangles ABP et A'B'P ont les mêmes angles, mais pas
> > nécessairement les mêmes mesures de longueurs.
> Pour faire plus court : ils sont semblables.[/color]

> Ah ben oui, maintenant ça me revient.
[color=green]
> > PI / PI' = R = QJ / QJ'
> > PI+PI' = QJ+QJ', on a finalement :
> > PI = QJ et PI' = QJ'.
> Ca ce n'est pas immédiat, il faut expliquer :
> PI / PI' = R = QJ / QJ'
> donc QJ'PI = PI'QJ
> D'autre part,
> (PI+PI')QJ' = QJ'PI + PI'QJ'
> = PI'QJ + PI'QJ'
> = PI'(QJ+QJ')
> et comme PI+PI'=QJ+QJ', on peut simplifier ce qui est entre parenthèses, il
> reste QJ'=PI'.[/color]

> C'est vrai que c'est plus précis comme ça. Merci.

> Le reste est (très) bon.
> Très jolie démo en tous cas...

....N'en jetez plus.
Et encore merci pour les remarques.

Gibbs.

[Anonyme]

> Ca ce n'est pas immédiat, il faut expliquer :
> PI / PI' = R = QJ / QJ'
> donc QJ'PI = PI'QJ
>
> D'autre part,
> (PI+PI')QJ' = QJ'PI + PI'QJ'
> = PI'QJ + PI'QJ'
> = PI'(QJ+QJ')
>
> et comme PI+PI'=QJ+QJ', on peut simplifier ce qui est entre parenthèses, il
> reste QJ'=PI'.
>
C'est à nouveau moi, pour dire à quel point je suis ébahi par la précision que tu as
apportée (voir ci-dessus) à ma démonstration. C'est génial. Je n'aurais jamais pu trouver
ça tout seul. Grand merci, encore une fois.