Géomérie

[Anonyme]

pouvez vous m'aide à prouver que tout groupe à un paramètre d'automorphisme
linéaires de IR^n qui est continue est de la forme t ----> exp(tu) avec u
endomorhisme de IR^n.

c quoi une orbite: qu'elle sont les orbites de
(t,v) ---> exp(tu)v où u endo ayant comme matrice respectivement
1 0 0 1 et 0 1
0 1 -1 0 1 0


merci d'avance

[Anonyme]

"fabrice lavol" a écrit dans le message de news:
bor931$qas$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> pouvez vous m'aide à prouver que tout groupe à un paramètre
d'automorphisme
> linéaires de IR^n qui est continue est de la forme t ----> exp(tu) avec u
> endomorhisme de IR^n.

Soit f un tel morphisme
(E) : f(t+s)=f(t)*f(s)
Supposons que f soit dérivable sur R.
Alors, pour s fixé, en dérivant l'équation (E), on obtient
f'(ts+s)=f'(t)*f(s) puis en fixant s=0, on obtient f'(t)=f(t)*f'(0) quelque
soit t dans R
On en déduit immédiatement que f(t)=C*exp(f'(0)*t) où C est une matrice de
taille n*n
Puisque f(t) et exp(f'(0)*t) sont inversibles, tu en déduis que C est une
matrice inversible
En utilisant l'équation fonctionnelle (E) tu en déduit que C= C^2 ==>C=Id

Il suffit maintenant de démontrer que f sur R.
En intégrant l'équation fonctionnelle par rapport à la variable s sur
l'intervalle [0,y] et en effectuant le changement de variable sG(y) est de classe C^1 sur R
(c'est la primitive de f)
Supposons qu'il existe une valeur de y0 tel que G(y0) soit inversible alors
f(t)=(G(t+y0)-G(t))*(G(y0)^(-1))
Le membre de droite est dérivable par rapport à t sur R tout entier donc
t --> f(t) est dérivable sur R

Montrons maintenant qu'un tel y0 existe bien.
Fixons une norme subordonnée sur les matrices notée Norme.
On sait que f(0)=Id et l'application f est continue en 0 donc il existe a>0
tel que pour tout t appartenant à [-a,a], Norme(f(t)-Id)0 dans [-a,a] alors Norme(G(y0)/y0 -Id) c quoi une orbite: qu'elle sont les orbites de
> (t,v) ---> exp(tu)v où u endo ayant comme matrice respectivement
> 1 0 0 1 et 0 1
> 0 1 -1 0 1 0
>[/color]

Une orbite c'est l'image si tu préfère par ton application (t,v) --->
exp(tu)v
si je ne m'abuse, v est un vecteur de R^n ce que je suppose par la suite
1 er cas :
1 0
0 1
Un calcul classique te donne exp(tu)=exp(t)*I donc l'orbite est la
demi-droite a*v où a>0

2ème cas
0 1
-1 0

Un calcul classique te donne exp(tu)=matrice de rotation d'angle t donc
l'orbite est l'ensemble des rotations subi par le vecteur v c'est-à-dire un
cercle de centre O et de rayon la norme de v

3ème cas :
0 1
1 0
u est une symétrie par rapport à la droite y=x

exp(tu)= cos(t)*I + sin(t)*u (u^2=Id) donc exp(tu)v=cos(t)*v + sin(t)*u(v)
tu écris v=v1+v2 avec u(v1)=v1 et u(v2)=-v2 (décomposition classique pour
les symétries) ce qui te donne
(exp(tu)v)1=cos(t)*v1 + sin(t)*v1=(cost+sint)*v1
(exp(tu)v)2=cos(t)*v2 - sin(t)*v2=(cost-sint)*v2

oh la jolie courbe paramétrée, je te laisse la reconnaitre
([(exp(tu)v)1/(norme(v1)]^2 + ((exp(tu)v)2//(norme(v2))^2=1

[Anonyme]

je ne comprend pas comment tu dérives (E)
je trouve f ' (t+s) = f '(t) * f (s) apres derivation

question : pourquoi f serait dérivable ?




"fabrice lavol" a écrit dans le message de news:
bor931$qas$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> pouvez vous m'aide à prouver que tout groupe à un paramètre
d'automorphisme
> linéaires de IR^n qui est continue est de la forme t ----> exp(tu) avec u
> endomorhisme de IR^n.
>
> c quoi une orbite: qu'elle sont les orbites de
> (t,v) ---> exp(tu)v où u endo ayant comme matrice respectivement
> 1 0 0 1 et 0 1
> 0 1 -1 0 1 0
>
>
> merci d'avance
>
>

[Anonyme]

merci pour ton aide
c introuvable tout seul, sans etre guidé pour la résolution
j'airemais savoir comment t'as "réfléchi" pour resoudre cette exo. est-ce un
exo classique???







"fabrice lavol" a écrit dans le message de news:
bor931$qas$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> pouvez vous m'aide à prouver que tout groupe à un paramètre
d'automorphisme
> linéaires de IR^n qui est continue est de la forme t ----> exp(tu) avec u
> endomorhisme de IR^n.
>
> c quoi une orbite: qu'elle sont les orbites de
> (t,v) ---> exp(tu)v où u endo ayant comme matrice respectivement
> 1 0 0 1 et 0 1
> 0 1 -1 0 1 0
>
>
> merci d'avance
>
>

[Anonyme]

"vincent" a écrit dans le message de news:
bos42i$7bc$1@news-reader1.wanadoo.fr...
> je ne comprend pas comment tu dérives (E)
> je trouve f ' (t+s) = f '(t) * f (s) apres derivation
>
> question : pourquoi f serait dérivable ?


tu as tout à fait raison, c'est mon clavier qui fait des siennes

[Anonyme]

"fabrice lavol" a écrit dans le message de news:
bos9pu$vhu$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> merci pour ton aide
> c introuvable tout seul, sans etre guidé pour la résolution
> j'airemais savoir comment t'as "réfléchi" pour resoudre cette exo. est-ce
un
> exo classique???

En un certain sens, oui. Il fait partie dans la grande famille des équations
fonctionnelles classiques (tu l'as déjà traité dans le cas n=1 pour voir que
l'exponentielle est la seule fonction dérivable qui transforme une somme en
produit, f(x+y)=f(x)+f(y), etc..).
Lorsque f est continue seulement, l'idée est de regarder l'équation
fonctionnelle satisfaite par "sa" primitive.

Plus généralement, sur un groupe commutatif, une idée naturelle apparait qui
est celle de caractère (morphisme de G dans C).
Par exemple,
1/ si G est le groupe R/Z, les caractères sont les x-->exp(2*pi*n*x) où n
est dans Z et toute fonction sur R/Z (fonction 1 périodique), modulo
certaines conditions, est une combinaison linéaire "infinie" de tels
caractères (les célèbres séries de Fourier)
2/ si G est le groupe R, les caractères sont les x-->exp(2*pi*y*x) où y est
dans R et toute fonction sur R , modulo certaines conditions) est une
combinaison linéaire "continue" de tels caractères (la transformée de
Fourier)
3/ si G est le groupe Z/nZ, les caractères sont les x-->exp(2*pi*n*x) où n
est dans Z/nZ et toute fonction sur Z/nZ (fonction sur Z, n périodique) est
une combinaison linéaire finie de tels caractères (la célèbre transformation
de Fourier discrète)

tu trouveras de plus amples explications sur http://www.mathematiques.fr.st
(section analyse harmonique, ainsi qu'une application à l'étude de la
fonction zêta de Riemann à la ssection fonction zêta).

Pub :
dans une semaine, on trouvera également une construction complète et
rigoureuse du corps des réels (à l'aide des suites de Cauchy), qui
contrairement à ce que l'on peut croire ne découle pas immédiatement de la
méthode générale de la complétion d'un espace métrique (car dans cette
méthode, on suppose que R est complet). Un peu plus tard, je donnerais la
construction rigoureuse des corps p-adiques ainsi que leurs études
topologiques puis j'étudierais l'analyse harmonique sur de tels corps.

Pour la peine, tu as le droit à un exo supplémentaire (donner à l'X mais que
j'ai découpé en tranche):

1/ soit G un sous-ensemble de Mn(C) tel que (G,*) soit un groupe.
Est-ce que G est inclu dans GL(n,C) ?
L'élément neutre est-il nécessairement Id_R^n ?
(on méditera sur G={[a,0;0,0] matrice 2*2 avec a dans R)
2/ Montrer que si g est dans G et e est l'élement neutre de G alors rang g =
rang e.
3/ Montrer que pour tout élément g de G, Im g est inclu dans Im e
4/ Montrer qu'il existe h dans Mn(C) tel que G={h[a,0;0;0]h^(-1) où a
appartient à GL(m,C) où m=rang e}
5/ montrer que tout morphisme de R dans Mn(C),continu, est de la forme
t-->P*exp(t*A) où P est un projecteur et A un élément de Mn(C).