Formes quadratiques

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai deux formes quadratiques q et q' tq
\forall x \in R^n 0<=q(x)<=q'(x)
Je note A la matrice symetrique réelle positive associée à q, et B celle
associée à q'.
Si on suppose que q' est définie positive, pourquoi peut-on dire que q et
q' sont co-réductibles? Leichtnam dit que l'on peut affirmer cela à l'aide
du théorème spectral mais je vois pas comment ((

Cédric.
--
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On se souviendra d'Archimède quand on aura oublié Eschyle, parce que les
langues meurent mais pas les idées mathématiques. "Immortalité" est sans
doute un mot creux, mais un mathématicien a probablement plus de chances
d'en jouir qu'un autre.

G.H. Hardy

[Anonyme]

Cédric ALLALI wrote:
> Bonjour,
>
> J'ai deux formes quadratiques q et q' tq
> \forall x \in R^n 0 Je note A la matrice symetrique réelle positive associée à q, et B
> celle associée à q'.
> Si on suppose que q' est définie positive, pourquoi peut-on dire
> que q et q' sont co-réductibles? Leichtnam dit que l'on peut affirmer
> cela à l'aide du théorème spectral mais je vois pas comment ((
>

R^n muni de q' est un espace euclidien que j'appelle E.
Soit B une BON de E et soit M la matrice de q dans B. Alors M est symétrique
réelle donc (théorème spectral) M est diagonalisable dans le groupe
orthogonal ie il existe P orthogonale telle que P^(-1)MP=D soit diagonale. P
est la matrice de passage de B à une BON U de E. Et dans U, la matrice de q
est D.

Pascal

[Anonyme]

>
> R^n muni de q' est un espace euclidien que j'appelle E.
> Soit B une BON de E et soit M la matrice de q dans B. Alors M est
symétrique
> réelle donc (théorème spectral) M est diagonalisable dans le groupe
> orthogonal ie il existe P orthogonale telle que P^(-1)MP=D soit
diagonale. P
> est la matrice de passage de B à une BON U de E. Et dans U, la matrice
de q
> est D.

Merci beaucoup mais alors deux matrices symétriques réelles qui ne
commutent pas sont co-diagonalisables? C'est beaucoup plus fort que la
diagonalisation simultanée de matrices quelconques.

[Anonyme]

>
> Merci beaucoup mais alors deux matrices symétriques réelles qui ne
> commutent pas sont co-diagonalisables? C'est beaucoup plus fort que la
> diagonalisation simultanée de matrices quelconques.

Oups, il faut quand même que l'une des matrices soit définies positives
pour avoir la structure euclidienne, c'est juste ?

[Anonyme]

Cédric ALLALI wrote:[color=green]
> > Merci beaucoup mais alors deux matrices symétriques réelles qui
> ne > commutent pas sont co-diagonalisables? C'est beaucoup plus
> fort que la > diagonalisation simultanée de matrices quelconques.
>
> Oups, il faut quand même que l'une des matrices soit définies
> positives pour avoir la structure euclidienne, c'est juste ?[/color]

Si tu veux dire qu'une matrice symétrique définie positive et une matrice
symétrique réelle sont codiagonalisables, ce n'est bien sûr pas vrai (un
vecteur propre de l'une n'est pas forcément vecteur propre de l'autre).

[Anonyme]

Pascal declarait :

> Si tu veux dire qu'une matrice symétrique définie positive et une matrice
> symétrique réelle sont codiagonalisables, ce n'est bien sûr pas vrai (un
> vecteur propre de l'une n'est pas forcément vecteur propre de l'autre).

Pourtant on a bien une base dans laquelle les deux matrices sont
diagonales, c'est pas de la réduction simultanée ça ?

Cédric.


--
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[Anonyme]

Cédric ALLALI wrote:
> Pascal declarait :
>[color=green]
>> Si tu veux dire qu'une matrice symétrique définie positive et une
>> matrice symétrique réelle sont codiagonalisables, ce n'est bien sûr
>> pas vrai (un vecteur propre de l'une n'est pas forcément vecteur
>> propre de l'autre).
>
> Pourtant on a bien une base dans laquelle les deux matrices sont
> diagonales, c'est pas de la réduction simultanée ça ?[/color]

Je te prends un exemple : comme matrices choisissons I_n comme matrice
symétrique définie positive et M=/=I_n comme matrice réelle symétrique. Dans
la base canonique de R^n, le produit scalaire défini par I_n est le produit
scalaire usuel. Soit q la forme quadratique de matrice M dans la base
canonique.On a vu que la matrice de q est diagonale dans une base
orthonormale (pour le produit scalaire usuel) bien choisie. On vient donc
d'effectuer une réduction simultanée des formes quadratiques. Pourtant les
matrices dans la base canonique de ces formes (I_n et M) ne sont évidemment
pas semblables (quand on dit que deux matrices sont codiagonalisables, on
veut dire que les _endomorphismes_ canoniquement associés diagonalisent dans
une _même_ base).

Pascal

[Anonyme]

> R^n muni de q' est un espace euclidien que j'appelle E.
> Soit B une BON de E et soit M la matrice de q dans B.

***
dans E plutôt
***

> Alors M est symétrique

***
.....pour le produit scalaire induit par q'. Explication :
soit B la matrice de q' dans la base canonique de R^n et (.,.) le produit
scalaire canonique associé alors le produit scalaire induit par q' est
X-->=(BX,X) et dire que M est symétrique pour ce dernier produit
scalaire signifie que
= (BMx,x)=(Bx,Mx) (Bx,x)=(t(M)Bx,x) quel que soit x dans
R^n
où t(M) est la transposée de M pour le produit scalaire usuel (.,.)
Ainsi une matrice M est symétrique pour le produit scalaire signifie
que BM=t(M)B pour le produit scalaire (.,.).
***

> réelle donc (théorème spectral) M est diagonalisable dans le groupe
> orthogonal

***
..... pour la forme quadratique q' c'est-à-dire c'est l'ensemble des matrices
inversibles J telles que
q'(Jx)=q'(x) =(BJx,Jx)=(Bx,x)(t(J)BJx,x)=(Bx,x)
autrement dit une matrice J est orthogonale pour le produit scalaire
signifie que t(J)AJ=A
En particulier, si B=I on obtient que t(J)J=I mais pour une matrice B
quelconque (symétrique positive) cela signifie que J^(-1)=B^(-1)t(J)B donc
si t'(J) désigne la transposée de P pour le produit scalaire , on a
t'(J)=B^(-1)t(J)B
***

> ie il existe P orthogonale telle que P^(-1)MP=D soit diagonale.

***
donc t'(P)MP=D car P est orthogonale pour le produit scalaire
La forme quadratique q' s'écrit q'(x)== et la forme quadratique
q s'écrit donc
q(x)===
Les deux formes quadratiques q et q' sont donc coréduites dans la base
C=P(base canonique)

Peut-on dire que les matrices A et B commutent ?
La matrice de A et de B dans la nouvelle BON sont M et I qui commutent
clairement. Par contre, les matrices A et M ne sont pas conjugués donc on ne
peut pas dire que A et B commutent. Plus précisément :
On sait que q(x)=(Ax,x) (par définition de la matrice d'une forme
quadratique dans la base canonique orthonormée pour (.,.)) et que
q(x)= (par définition de la matrice symétrique dans une BON pour
)
Il est immédiat que (Ax,x)= (Ax,x)=(BMx,x) A=BM
Ainsi, exiger que A et B commutent signifie que :
AB=BA
BMB=BBMMB=BM==(BMx,x)=(MBx,x)=(Bx,t(M)x)=
La commutation de A et B signifie donc que t(M)=M autrement dit M dot être
symétrique pour le produit scalaire usuel (.,.) et par définition pour le
produit scalaire ce qui arrive rarement.
Il est évident que la commutation de A et B induit la coréduction des formes
quadratiques associées et ce raisonnement montre que la réciproque est
fausse.



Une autre façon de le voir, la forme quadratique q'(x) possède une BON. La
théorie générale des formes quadratiques te montre qu'il existe une BON pour
le produit scalaire pour lequel q est réduite en somme de carrés.
La formule de changement de base des formes quadratiques montre que
B=t(R)*D*R, R n'étant pas à nouveau orthogonale au sens usuel car il s'agit
d'une matrice de changement de base d'une BON(1) (pour le produit scalaire
(.,.) ) dans une autre BON(2) ()
D'autre part, la matrice de A dans la BON(2) est nécessairement I (par
définition de la BON(2)) donc A=t(R)*I*R
Si t(R)=R^(-1) alors A et B commutent mais en général, il n'y aucune raison
pour que t(R)=R^(-1) car les conditions d'orthogonalité pour (.,.) et
sont distinctes.

[Anonyme]

masterbech wrote:[color=green]
>> R^n muni de q' est un espace euclidien que j'appelle E.
>> Soit B une BON de E et soit M la matrice de q dans B.
>
> ***
> dans E plutôt[/color]

> ***


??? (je confirme B).

>[color=green]
>> Alors M est symétrique
>
> ***
> ....pour le produit scalaire induit par q'.
>[/color]

Ca ne veut rien dire. Une matrice n'est pas symétrique pour un forme
quadratique, elle symétrique tout court. Partout tu sembles identifier
matrice et endomorphisme "associé" ce qui peut engendrer de lourdes
confusions. En fait tu veux sans doute dire que l'endomorphisme de matrice M
dans la base B est un endomorphisme symétrique ie égal à son adjoint pour le
produit scalaire de E ce qui est un résultat trivial du cours (dans une BON,
la matrice de l'adjoint de f est la matrice symétrique de la matrice de f
dans la même base).
[color=green]
> > réelle donc (théorème spectral) M est diagonalisable dans le groupe
>> orthogonal[/color]

> ***
> .... pour la forme quadratique q'

Pareil, ça ne veut rien dire. Le groupe orthogonal se définit en termes
exclusivement matriciels.


> c'est-à-dire c'est l'ensemble des
> matrices inversibles J telles que
> q'(Jx)=q'(x)
> =(BJx,Jx)=(Bx,x)(t(J)BJx,x)=(Bx,x) autrement
> dit une matrice J est orthogonale pour le produit scalaire
> signifie que t(J)AJ=A


Traduction : les automorphismes orthogonaux pour un produit scalaire ont
exactement pour matrice dans des BON (pour le produit scalaire en question)
les matrices orthogonales (sans préciser).


[color=green]
>> ie il existe P orthogonale telle que P^(-1)MP=D soit diagonale.
>
> ***
> donc t'(P)MP=D car P est orthogonale pour le produit scalaire
> La forme quadratique q' s'écrit q'(x)== et la forme
> quadratique q s'écrit donc
> q(x)===
> Les deux formes quadratiques q et q' sont donc coréduites dans la base
> C=P(base canonique).[/color]

La coréduction est évidente, c'est la formule de changement de bases pour
une forme quadratique.



>
> Peut-on dire que les matrices A et B commutent ?
> La matrice de A et de B dans la nouvelle BON sont M et I qui commutent

Pour moi, une phrase du genre "des matrices dans une base commutent" ne veut
rien dire.

Pascal.

[Anonyme]

Merci à vous deux de vos explications, c'est un peu plus clair mais je
dois quand même aller méditer tout ça.

Cédric.

[Anonyme]

tout le monde aura compris que je parlais des endo associés