Equivalence

[Anonyme]

Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
J'ai un problème je ne puis pas résoudre
Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
équivalente à la somme des carrès sur les diagonales

merci beaucoup avant
au revoir

--
ciao
El Bandolero
§
M
il
monoriga
!

[Anonyme]

"El Bandolero" a écrit dans le message de news:
1v23o9e01n5x8.huvivcccagcg.dlg@40tude.net...
> Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
> J'ai un problème je ne puis pas résoudre
> Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
> équivalente à la somme des carrès sur les diagonales

C'est une application directe du produit scalaire.
Soit ABCD un parallélogramme.
Alors v(AC) = v(AB) + v(AD) et v(DB) = v(AB) - v(AD) [v = vecteur]
(v(AC))² + (v(DB))² = (v(AB)+v(AD))² + (v(AB)-v(AD))² = .....

Daniel

[Anonyme]

Bonjour,

El Bandolero a écrit:
> Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
> J'ai un problème je ne puis pas résoudre
> Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
> équivalente à la somme des carrès sur les diagonales
>
> merci beaucoup avant
> au revoir
>

Soit le parallelogramme ABCD.

Le plus simple est de considérer des vecteurs
(que je note ici AB> pour vecteur AB)

AB> + BC> = AC> et AB> - BC> = AB> - AD> = DB>
et de développer les produits scalaires dans l'expression
(AB> + BC>)^2 + (AB> - BC>)^2

Tu devrais alors pouvoir conclure.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

Le Mon, 25 Oct 2004 20:13:06 +0200
El Bandolero a écrit
>Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
>J'ai un problème je ne puis pas résoudre
>Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
>équivalente à la somme des carrès sur les diagonales
>
>merci beaucoup avant
>au revoir

AB = CD
AC = BD

(AB² + AC²) - (AD² + BC²)
= (AB² - AD²) + (AC² - BC²)
= (AB-AD)(AB+AD)+(AC-BC)(AC+BC)
= DB(AB+AD)+AB(AC+BC)
= - AC.AB - AC.AD + AB.AC + AB.BC
= AB.BC - AC.AD
= AB.(-AB+AC) - AC.(AB+BD)
= -AB² + AB.AC - AC.AB - AC²
= - (AB² + AC²)

d'où

2 (AB² + AC²) = AD² + BC²


--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

On Mon, 25 Oct 2004 20:13:06 +0200, El Bandolero
wrote:

>Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
>J'ai un problème je ne puis pas résoudre
>Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
>équivalente à la somme des carrès sur les diagonales
pas équivalente mais égale
>merci beaucoup avant
appliques 2 fois la fameuse formule d'AL-Kashi
d^2=a^2+b^2-2abcos(téta)
et on remarque que la somme des angles opposés
d'un //gramme fait Pi
donc cos opposés
*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

> Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
> J'ai un problème je ne puis pas résoudre
> Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
> équivalente à la somme des carrès sur les diagonales

en utilisant les identités de polarisation:
dans un préhilbertien reel
=(1/2)((norm(x+y))²-norm(x)²-norm(y)²)=(1/2)(norm(x)²+norm(y)²-(norm(x-
y))²)
voilà, en jouant là dessus, le tour est joué
Greg

[Anonyme]

El Bandolero wrote:

> Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
> J'ai un problème je ne puis pas résoudre
> Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
> équivalente à la somme des carrès sur les diagonales

Tu as déjà plein de réponses, parfois forts compliquées (la palme
revenant aux identités de polarisation dans un espace préhilbertien
réel). J'imagine que ce n'est pas nécessairement ce dont tu as besoin:
le théorème d'Al-Kashi n'est peut-être pas au programme pour l'élève
auquel a été posé l'exercice, et la preuve par les vecteurs et le
produit scalaire n'est peut-être pas la preuve attendue.

Il y a (au moins) deux méthodes élémentaires pour résoudre ton problème
:
- en utilisant le théorème de Pythagore,
- par des calculs d'aire,

Nommons le carré ABCD, et O le centre du carré (le milieu des diagonales
[AC] et [BD]).

Le triangle AOB est un triangle rectangle en O. En appliquant le
théorème de Pythagore dans ce triangle, on voit :

AO^2+BO^2=AB^2

On obtient les mêmes identités pour chacun des quatre triangle de sommet
O, d'hypothènuse un coté du carré. En faisant la somme de ces identités,
on en déduit :

AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2AO^2+2BO^2+2CO^2+2DO^2
=AC^2+BD^2

car AO=CO=DO=BO=1/2.AC=1/2.BD

La preuve par les aires est équivalente :
l'aire de AOB est 1/2.AO.OB=1/2.AO^2=1/2.(1/2.AC)^2
l'aire de ABCD est : AB.BC=AB^2=1/4.(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)
mais elle est aussi égale à la somme des aires de AOB, BOC, COD et DOA.

Donc :
1/4.(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)=1/2((1/2.AC)^2+(1/2.BD)^2+(1/2.CA)^2+(1/2.DB)^
2)

et voilà.

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

In data Mon, 25 Oct 2004 20:13:06 +0200, El Bandolero ha scritto:

> merci beaucoup avant
> au revoir

Merci infiniment de vos réponses rapides et précises
- l'espace préhilbertien et l'identités de polarisation aussi
....tout le monde sait que N.Bourbaki est français, n'est pas?

--
ciao
El Bandolero
§
Non comprerò mai le melanzane via internet
(LuckyA)

[Anonyme]

On Mon, 25 Oct 2004 22:07:05 +0200, benoit.rivet@libre.fr.invalid
(Benoit Rivet) wrote:

>El Bandolero wrote:
>[color=green]
>> Excusez-moi pour mon mauvais Français (je suis Italien)
>> J'ai un problème je ne puis pas résoudre
>> Montrez que la somme des carrès des côtés d'un parallélogramme est
>> équivalente à la somme des carrès sur les diagonales
>
>Tu as déjà plein de réponses, parfois forts compliquées (la palme
>revenant aux identités de polarisation dans un espace préhilbertien
>réel). J'imagine que ce n'est pas nécessairement ce dont tu as besoin:
>le théorème d'Al-Kashi n'est peut-être pas au programme pour l'élève
>auquel a été posé l'exercice, et la preuve par les vecteurs et le
>produit scalaire n'est peut-être pas la preuve attendue.[/color]
ca , c'est un peu énervant : "la méthode proposée par les autres n'est
probablement pas celle attendue , mais la mienne oui "
alors que l'auteur de la question n'a pas précisé sa classe ;
que tu aies envie de donner d'autres démo , très bien mais pourqoui ce
besoin de dénigrer les autres?
>Il y a (au moins) deux méthodes élémentaires pour résoudre ton problème
>:
>- en utilisant le théorème de Pythagore,
>- par des calculs d'aire,
>
>Nommons le carré ABCD, et O le centre du carré (le milieu des diagonales
>[AC] et [BD]).
?????????????????
d'où vient ce carré ABCD
parce que si ABCD est un carré alors franchement je ne vois pas
l'intérêt de ce qui suit?
même à l'issue du collége il doit être su que la diagonale c'est le
côté x par racine(2)?
>Le triangle AOB est un triangle rectangle en O. En appliquant le
>théorème de Pythagore dans ce triangle, on voit :
>
>AO^2+BO^2=AB^2
>
>On obtient les mêmes identités pour chacun des quatre triangle de sommet
>O, d'hypothènuse un coté du carré. En faisant la somme de ces identités,
>on en déduit :
>
>AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2AO^2+2BO^2+2CO^2+2DO^2
> =AC^2+BD^2
>
>car AO=CO=DO=BO=1/2.AC=1/2.BD
>
>La preuve par les aires est équivalente :
>l'aire de AOB est 1/2.AO.OB=1/2.AO^2=1/2.(1/2.AC)^2
>l'aire de ABCD est : AB.BC=AB^2=1/4.(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)
>mais elle est aussi égale à la somme des aires de AOB, BOC, COD et DOA.
>
>Donc :
>1/4.(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)=1/2((1/2.AC)^2+(1/2.BD)^2+(1/2.CA)^2+(1/2.DB)^
>2)
>
>et voilà.
>
>--
>Benoît RIVET