Equadif

[Anonyme]

Bonjour,

soit f 2 pi periodique C1 de R dans C, on veut une CNS sur f pour que l'equadif

y^(4)+5*y^(2)+4*y=f ait une solution 2 pi periodique.

Alors puisque f est C1 j'ai dérivé l'equation puis en les retranchant puis en
posant g=f'-f et z=y'-y:

g=z^(5)+z^(3)+z

et là je en vois pas comment continuer, résoudre l'equadif? comment exploiter
la 2pi periodicité?

merci

[Anonyme]

Dans le message:20040412141915.08083.00000266@mb-m11.aol.com,
Wenceslas a écrit:
> Bonjour,
>
> soit f 2 pi periodique C1 de R dans C, on veut une CNS sur f pour que
> l'equadif
>
> y^(4)+5*y^(2)+4*y=f ait une solution 2 pi periodique.
>
> Alors puisque f est C1 j'ai dérivé l'equation puis en les retranchant
> puis en posant g=f'-f et z=y'-y:
>
> g=z^(5)+z^(3)+z
>
> et là je en vois pas comment continuer, résoudre l'equadif? comment
> exploiter la 2pi periodicité?
>
> merci

Bonsoir, sans garantie:

L'équation homogène est de degré 4.
Le polynôme caractéristique r^4+5r^2+4 a pour racines:
r^2= -4 et r^2=-1
Donc tte solution de l'équa. homogène est combinaison linéaire de
cos(x), sin(x), cos(rac(2)x), sin(rac(2)2x).
Une solution particulière 2*Pi-périodique peut être trouvée :
f est décomposable en série de Fourier (2*Pi-périodique) puisque C1.
soit Ak exp(i k x) le terme de rang k de la décomposition de f(x), k
entier.
Il y correspond le terme Yk exp(i k x) de la solution particulière, tel
que:
[k^4 - 5 k^2 + 4] Yk = Ak

Ca va coller si A1 =0 puisque k^4-5k^2+4 s'annule pour les seuls entiers
k=1 et k=-1. Donc il faut f Pi-périodique. Réciproquement il faut
prouver
que la série de Fourier solution particulière converge,
ça doit découler du comportement en Ak/k^4 de Yk...

Enfin, pour que la solution homogène soit 2*Pi périodique, il faut et il
suffit que les conditions initiales donnent des coefficients nuls
pour les sin et cos en rac(2)x.

A ces deux conditions près la solution est bien 2*Pi-périodique
(solution de l'équa.homogène+solution particulière+prise en compte des
conditions initiales)

Enfin, c'est l'idée générale, je suis un peu à ma limite, là !
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Dans le message:20040412141915.08083.00000266@mb-m11.aol.com,
Wenceslas a écrit:
> Bonjour,
>
> soit f 2 pi periodique C1 de R dans C, on veut une CNS sur f pour que
> l'equadif
>
> y^(4)+5*y^(2)+4*y=f ait une solution 2 pi periodique.
>
> Alors puisque f est C1 j'ai dérivé l'equation puis en les retranchant
> puis en posant g=f'-f et z=y'-y:
>
> g=z^(5)+z^(3)+z
>
> et là je en vois pas comment continuer, résoudre l'equadif? comment
> exploiter la 2pi periodicité?
>

[mon message d'il y a 5 minutes annulé pour cause de contenu faux]
Bonsoir, sans garantie:

L'équation homogène est de degré 4.
Le polynôme caractéristique r^4+5r^2+4 a pour racines:
r^2= -4 et r^2=-1
Donc tte solution de l'équa. homogène est combinaison linéaire de
cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), donc 2*Pi-périodique.
Une solution particulière 2*Pi-périodique peut être trouvée :
f est décomposable en série de Fourier (2*Pi-périodique) puisque C1.
soit Ak exp(i k x) le terme de rang k de la décomposition de f(x), k
entier.
Il y correspond le terme Yk exp(i k x) de la solution particulière, tel
que:
[k^4 - 5 k^2 + 4] Yk = Ak

Ca va coller si A1 = A2 = 0 puisque k^4-5k^2+4 s'annule pour les seuls
entiers
k=1 et k=2 (et leurs opposés). Réciproquement il faut
prouver que la série de Fourier solution particulière converge,
ça doit découler du comportement en Ak/k^4 de Yk...

Enfin, c'est l'idée générale, je suis un peu à ma limite, là !
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
> Une solution particulière 2*Pi-périodique peut être trouvée :
> f est décomposable en série de Fourier (2*Pi-périodique) puisque C1.

Il faut pour ça que f soit à support compact non ?
Une fonction définie sur R tout entier ne me semble pas décomposable en
série de Fourier, sauf si elle est déjà périodique par hypothèse..