Endomorphismes commutatifs

[Anonyme]

Bonsoir !
Qui a une idee de la demonstration de la prop suivante (je le trouve pas dans
mes ramis...): si 2 endo sont trigonalisables commutent alors ils sont
trigonalisables dans une meme base (cotrigonalisables).
Merci

[Anonyme]

Soit une famille (ui) d'endo de E de dim finie trigonalisables et commutant
deux à deux, alors ils sont co-trigonalisables:

On commence par prouver par récurrence (forte) sur n=dim(E) qu'ils ont un
vecteur propre commun
Pour n=1 c'est vrai
Si c'est vrai pour dim(E) a écrit dans le message de news:
20031015133718.17057.00000505@mb-m03.aol.com...
> Bonsoir !
> Qui a une idee de la demonstration de la prop suivante (je le trouve pas
dans
> mes ramis...): si 2 endo sont trigonalisables commutent alors ils sont
> trigonalisables dans une meme base (cotrigonalisables).
> Merci

[Anonyme]

> Qui a une idee de la demonstration de la prop suivante (je le trouve pas
dans
> mes ramis...): si 2 endo sont trigonalisables commutent alors ils sont
> trigonalisables dans une meme base (cotrigonalisables).

On commence par montrer qu'ils ont un vecteur propre commun.
Si on les appelle f et g et qu'on prend une valeur propre a de f: le
sous-espace propre associé Ea est stable par g (c'est là qu'on utilise
l'hypothèse), et l'endomorphisme induit est trigonalisable (car g l'est),
donc en particulier g possède un vecteur propre x dans Ea, et qui convient
donc.
Après on fait une récurrence: Soit S un supplémentaire de Kx dans l'espace
total E. Si on choisit une base adaptée à cette décomposition, les matrices
de f et g ont leur première colonne nulle sauf éventuellement tout en haut.
Les blocs(n-1)x(n-1) en bas à droite commutent (car f et g commutent) et
définissent donc des endomorphismes trigonalisables qui commutent de S
(attention, ce ne sont pas des endomorphismes induits par f et g, vu que S
n'a aucune raison d'être stable). On prend une base de S qui les trigonalise
simultanément, et voilà.

--
Maxi

[Anonyme]

Merci a tous ! Quelle rapidité !

[Anonyme]

> Merci a tous ! Quelle rapidité !

C'est un grand classique à connaître!

--
Maxi

[Anonyme]

> Qui a une idee de la demonstration de la prop suivante (je le trouve pas
dans
> mes ramis...): si 2 endo sont trigonalisables commutent

Hehe c'est pas dans les Ramis mais la preuve est strictement la même que
celle du th de diag simult, qui elle figure dans le Ramis! (ouioui!)

Bye

--
Julien Santini