Dse et unicité

[Anonyme]

Bonjour,
un classique est de resoudre un DSE de f en passant par une ED, je comprends
bien qu avec cauchy on ait besoin d utiliser l'unicité pour etre sure que
notre DSE (donné par l ED) vaut notre f sur un intervalle en commun, mais je
ne comprends pourquoi on doit dire que le DSE à une ecriture unique lors de
la réindexation qui determine les relations entre le coefficients... au pire
si il y avait deux DSE non unique, elle vaudrait toues les deux f et puis
c'est tout...
merci

[Anonyme]

On Wed, 22 Dec 2004 15:28:08 -0500, artie wrote:

> un classique est de resoudre un DSE de f en passant par une ED, je comprends
> bien qu avec cauchy on ait besoin d utiliser l'unicité pour etre sure que
> notre DSE (donné par l ED) vaut notre f sur un intervalle en commun, mais je
> ne comprends pourquoi on doit dire que le DSE à une ecriture unique lors de
> la réindexation qui determine les relations entre le coefficients... au pire
> si il y avait deux DSE non unique, elle vaudrait toues les deux f et puis
> c'est tout...

Je ne comprends pas bien ta question.

Quel résultat de Cauchy cites-tu ?
Le seul que je connaisse ici est celui qui donne l'/existence/ d'un
DSE pour le produit de deux fonctions DSE.
(produit de Cauchy et théorème de Mertens)

Une équation différentielle ne te donnera que des relations de
récurrence entre les coefficients, mais sans terme initial.
Il y a une perte d'information lors de la dérivation. Deux fonctions qui
diffèrent d'une constante par exemple vérifieront la même équation
différentielle, mais n'aura pas le même DSE (éventuel).
D'où l'importance des conditions initiales, imposées par l'unicité si
tu veux ; elles pourront déterminer tes suites de coefficients.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

desole, je vais essayé d etre plus clair,
j ai une ED lineaire avec condition initiale.
Je suppose qu'une serie entiere avec un rayon >0 verifie cette equation
(avec condition initiale).
je trouve une série entiere (en injectant dans l ED et trouvant des
relations de recurrences sur les coef), je regarde son rayon de cv et je me
retrouve avec l unique fonction qui verifie cette ED sur l intervalle de cv
avec les conditions initial (cauchy-lipschit)

Dans les bouquins ils disent qu' il ne faut pas oublier de dire que la série
entiere à une écriture unique... je ne comprends pas pourquoi.

merci bien!


"Michel" a écrit dans le message news:
pan.2004.12.23.08.14.20.869000@alussinan.org...
> On Wed, 22 Dec 2004 15:28:08 -0500, artie wrote:
>[color=green]
> > un classique est de resoudre un DSE de f en passant par une ED, je[/color]
comprends[color=green]
> > bien qu avec cauchy on ait besoin d utiliser l'unicité pour etre sure[/color]
que[color=green]
> > notre DSE (donné par l ED) vaut notre f sur un intervalle en commun,[/color]
mais je[color=green]
> > ne comprends pourquoi on doit dire que le DSE à une ecriture unique lors[/color]
de[color=green]
> > la réindexation qui determine les relations entre le coefficients... au[/color]
pire[color=green]
> > si il y avait deux DSE non unique, elle vaudrait toues les deux f et[/color]
puis[color=green]
> > c'est tout...
>
> Je ne comprends pas bien ta question.
>
> Quel résultat de Cauchy cites-tu ?
> Le seul que je connaisse ici est celui qui donne l'/existence/ d'un
> DSE pour le produit de deux fonctions DSE.
> (produit de Cauchy et théorème de Mertens)
>
> Une équation différentielle ne te donnera que des relations de
> récurrence entre les coefficients, mais sans terme initial.
> Il y a une perte d'information lors de la dérivation. Deux fonctions qui
> diffèrent d'une constante par exemple vérifieront la même équation
> différentielle, mais n'aura pas le même DSE (éventuel).
> D'où l'importance des conditions initiales, imposées par l'unicité si
> tu veux ; elles pourront déterminer tes suites de coefficients.
>
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]

[Anonyme]

Salut,

Par cette démarche tu as donc trouvé une série entière solution.
Mais par unicité de la solution au problème de Cauchy, tu sais
également que cette série entière vaut la fonction f, laquelle
vérifie la même équation différentielle.
Après avoir vérifié que la série entière trouvée a un rayon >0,
tu en déduis que f est développable en série entière.
Ceci, tu sembles l'avoir compris.

> Dans les bouquins ils disent qu' il ne faut pas oublier de dire que la série
> entiere à une écriture unique... je ne comprends pas pourquoi.

Tu as raison, il n'est pas nécessaire de le préciser dans cette
démarche, quand tu as une équation différentielle simple.

Mais ça dépend de ton exercice.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Oui, vous avez bien compris mon problème:
Je ne comprends pas pourquoi les bouquins: methodX, systemD... ecrivent
toujours au moment ou ils injectent le sigma dans l ED, ils ecrivent "et d
apres l unicité de l'écriture de série entiere"...
cela m'intrigue vraiment... confondrai-je une equivalence avec une
implication dans cette histoire?
merci bien

"Michel" a écrit dans le message news:
pan.2004.12.23.16.36.02.882000@alussinan.org...
> Salut,
>
> Par cette démarche tu as donc trouvé une série entière solution.
> Mais par unicité de la solution au problème de Cauchy, tu sais
> également que cette série entière vaut la fonction f, laquelle
> vérifie la même équation différentielle.
> Après avoir vérifié que la série entière trouvée a un rayon >0,
> tu en déduis que f est développable en série entière.
> Ceci, tu sembles l'avoir compris.
>[color=green]
> > Dans les bouquins ils disent qu' il ne faut pas oublier de dire que la[/color]
série[color=green]
> > entiere à une écriture unique... je ne comprends pas pourquoi.
>
> Tu as raison, il n'est pas nécessaire de le préciser dans cette
> démarche, quand tu as une équation différentielle simple.
>
> Mais ça dépend de ton exercice.
>
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]

[Anonyme]

"artie" a écrit dans le message de news:
YDHyd.32838$GK5.1599085@news20.bellglobal.com...
> Oui, vous avez bien compris mon problème:
> Je ne comprends pas pourquoi les bouquins: methodX, systemD... ecrivent
> toujours au moment ou ils injectent le sigma dans l ED, ils ecrivent "et d
> apres l unicité de l'écriture de série entiere"...
> cela m'intrigue vraiment... confondrai-je une equivalence avec une
> implication dans cette histoire?
> merci bien

Tu as trouvé des coefficients qui définissent une série entière S, où S est
l'unique solution du problème de Cauchy. Mais tu pourrais avoir d'autres
coefficients qui définissent ta même série entière S. L'unicité que tu cites
te dit que c'est impossible (pour le démontrer je pense qu'il faut utiliser
le principe des zéros isolés: si somme des a_n z^n = somme des b_n z^n
(égalité sur un voisinage de 0) alors b_n=a_n). Enfin c'est ce que je
comprends...

[Anonyme]

>>Dans les bouquins ils disent qu' il ne faut pas oublier de dire que la série[color=green]
>>entiere à une écriture unique... je ne comprends pas pourquoi.
>
> Tu as raison, il n'est pas nécessaire de le préciser dans cette
> démarche, quand tu as une équation différentielle simple.[/color]

Tout a fait d'accord avec cela.
Amities,
Olivier

[Anonyme]

oui, mais pourquoi parlez de l unicité? Si on me demande juste une DSE d'une
fct, pourquoi parler de l unicité de son écriture (unicité qui se prouve a
coup de derivation en 0, mais mon probleme n est la pas actuellement).
Pourquoi aller en parler en plein milieu de l exercice? En quoi cela semble
necessaire d apres les auteurs? Je ne vois vraiment pas...
merci

"Olivier" a écrit dans le message news:
41ce8d7e$0$8684$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
> >>Dans les bouquins ils disent qu' il ne faut pas oublier de dire que la[/color][/color]
série[color=green][color=darkred]
> >>entiere à une écriture unique... je ne comprends pas pourquoi.
> >
> > Tu as raison, il n'est pas nécessaire de le préciser dans cette
> > démarche, quand tu as une équation différentielle simple.[/color]
>
> Tout a fait d'accord avec cela.
> Amities,
> Olivier
>[/color]

[Anonyme]

artie wrote:
> oui, mais pourquoi parlez de l unicité? Si on me demande juste une DSE d'une
> fct, pourquoi parler de l unicité de son écriture (unicité qui se prouve a
> coup de derivation en 0, mais mon probleme n est la pas actuellement).
> Pourquoi aller en parler en plein milieu de l exercice? En quoi cela semble
> necessaire d apres les auteurs? Je ne vois vraiment pas...

Et ben non, mais les livres ont des erreurs, qui sont duement
recopiees et reexposees dans d'autres livres, jusqu'a ce que
quelqu'un se demande (comme toi) "mais qu'est ce que c'est que ca ?".
Essayes d'obtenir le remboursement, a priori les editeurs
sont responsables du contenu )))) Au minimum, appelles les
au telephone pour leur demander une explication ))
Responsables, certes , mais ils ont le droit de publier des choses
fausses, non verifiees etc. Un peu comme Berliocchi, ou la moitie
des livres d'economie, au nom de la liberte d'expression ...
Oui, cela pose un probleme delicat surtout quand les ecoles
privees et autres systemes de cours particu se developpent comme
des lapins. Entre liberte d'expression et lutte contre l'obscurantisme,
honnetement, je ne sais pas trop comment on peut faire pour maintenir
un referentiel fiable. Www nous pose une question similaire.
Bon courage !
Amities,
Olivier

[Anonyme]

alors je ne suis pas fou? Je n'ai pas raté une equivalence, du type lorsque
l'on prend la dérivée de f' il faut bien que la série entiere dérivée soit
avec du "a indice n" et pas avec une autre écriture en série entiere de f
qui donnerait un f' avec autres chose que du "a indice n" fois n? Ou ai-je
tort de penser à cela, est-ce que cette petite phrase viendrait de cela?
Mais si je pose des le debut f avec du "a indice n" d'où f'=... sur l
intervalle ouvert de cv... allors pourquoi ecrire cette phrase... j avoue
que je ne fais meme plus confiance à mon sens dans cette histoire...apres
toutes ces fetes!

Mon probleme c'est que cette rédaction je la retrouve partout, dans tous les
bouquins, et meme pour une correction du cned un "oui tres bien" dans la
marge... je veux bien faire l'automath pour gagner des points, mais est-ce
qqn d'autre pourrais me rassurer?...
merci pour tout, joyeuses fetes!



"Olivier" a écrit dans le message news:
41cf16b3$0$8670$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> artie wrote:[color=green]
> > oui, mais pourquoi parlez de l unicité? Si on me demande juste une DSE[/color]
d'une[color=green]
> > fct, pourquoi parler de l unicité de son écriture (unicité qui se prouve[/color]
a[color=green]
> > coup de derivation en 0, mais mon probleme n est la pas actuellement).
> > Pourquoi aller en parler en plein milieu de l exercice? En quoi cela[/color]
semble[color=green]
> > necessaire d apres les auteurs? Je ne vois vraiment pas...
>
> Et ben non, mais les livres ont des erreurs, qui sont duement
> recopiees et reexposees dans d'autres livres, jusqu'a ce que
> quelqu'un se demande (comme toi) "mais qu'est ce que c'est que ca ?".
> Essayes d'obtenir le remboursement, a priori les editeurs
> sont responsables du contenu )))) Au minimum, appelles les
> au telephone pour leur demander une explication ))
> Responsables, certes , mais ils ont le droit de publier des choses
> fausses, non verifiees etc. Un peu comme Berliocchi, ou la moitie
> des livres d'economie, au nom de la liberte d'expression ...
> Oui, cela pose un probleme delicat surtout quand les ecoles
> privees et autres systemes de cours particu se developpent comme
> des lapins. Entre liberte d'expression et lutte contre l'obscurantisme,
> honnetement, je ne sais pas trop comment on peut faire pour maintenir
> un referentiel fiable. Www nous pose une question similaire.
> Bon courage !
> Amities,
> Olivier
>[/color]

[Anonyme]

artie wrote:
> alors je ne suis pas fou? Je n'ai pas raté une equivalence, du type lorsque
> l'on prend la dérivée de f' il faut bien que la série entiere dérivée soit
> avec du "a indice n" et pas avec une autre écriture en série entiere de f
> qui donnerait un f' avec autres chose que du "a indice n" fois n?

Non, la serie de coef na_n represente bien f' qu'il y ait unicite
ou pas , c'est juste de la convergence uniforme sans aucun
probleme a la cle.

Par contre on peut utiliser l'unicite pour annuler les coefficients
de la serie et ce doit etre la confusion maintenant que j'y pense.
Reprenons :

une equation sum_i b_i f^{(i)} = g
( avec les b_i constants pour simplifier l'exposition )

on remplace f^{(i)} et g par sa serie entiere si c'est possible
ce qui nous donne

sum_i b_i sum_n a_{n+i} (n+i)...(n+1) x^n = g(x) = sum_n q_n x^n

puis par convergence uniforme

sum_n ( sum_i b_i a_{n+i} (n+i)...(n+1) ) x^n = sum_n q_n x^n

et maintenant l'ecriture unique de g en SE nous garantit que

sum_i b_i a_{n+i} (n+i)...(n+1) = q_n (*)

(bien sur, si g=0, on prend tous les q_n egaux a 0 ;
si les b_i ne sont pas constants, on les developpe aussi
en serie entiere. Souvent ce sont des polynomes : ils sont
deja tout developpes )

Ok. On verifie que le rayon de convergence est correct
si on a de la chance et fin.

Mais en l'occurrence, on peut dire
"regardons (*), trouvons sa (ou ses) solution(s)
et formons la fonction f resultante. Elle
verifie l'equa diff et comme on sait que la solution
est unique patati et patata"

Voila, j'espere que cela explicite ou l'unicite pourrait
etre utilisee et comment il est possible de s'en sortir sans.
D'ailleurs, ce n'est jamais l'unicite de l'ecriture de *f*
qui est utilisee ...

J'espere que cela demele le sac de noeuds. Et j'espere
ne pas m'etre pris les pieds dans le tapis non plus
Bon courage,
Amities,
Olivier

[Anonyme]

"Olivier" a écrit dans le message de news:
41cf3eef$0$24543$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> J'espere que cela demele le sac de noeuds.

Ta réponse est la même que celle que j'avais donnée plus haut, il y a deux
jours...

[Anonyme]

> Ta réponse est la même que celle que j'avais donnée plus haut, il y a deux
> jours...

J'imagine, oui, et je l'espere (enfin entre toi et Michel)
Honnetement, j'ai juste essaye d'ecrire le tout le facon
un peu plus explicite pour que tout soit clair pour Artie
qui avait l'air un peu perdu.e.
O.

[Anonyme]

Bonjour!Merci à vous!
Désolé Cyberchand,mais je pense que Cyberchand a plus approché mon
problème...
Je crois que j'ai compris pourquoi les livres nous en parlent, mais il
devrait nous dire que c'est juste pour simplifier la rédaction...
c'est pour que le passage des séries dans l equat diff à un systeme donnant
les "a indice n" par récurrence avec l unicité (avec l unin=cité: le coeff
de chaque x^n doit etre nul et non peut etre nul...) cela devient une
implication et donc la solution "série" possible (suivant le rayon)....et la
on est tous d accord la dessus, et cela on l'avait tous compris... et c'est
vrai avec le th de cauchy cela n'est pas necessaire de parler de cette
unicité du DSE, mais pour le rédiger il faut ecrire un peu plus et c'est
plutot un peu désagréable...

voila ma conclusion: j'ai manqué de finesse en pensant naivement que les
livres me donnaient une solution en utilisant "le moins de connaissances
possibles", et vu comme ils insistaient la dessus (comme des bourrins sur
cette fameuse phrase sur l unicité du DSE), je n'ai pas osé penser aussi
simplement... finalement il n'est pas necessaire d'écrire cette phrase, mais
cela oblige:
1) une rédaction un pleu plus lourde.
2) une redaction peu habituelle pour un correcteur pressé...et donc des
points qui peuvent être perdu rapidement...

meci a vous, et dites moi si je me suis planté!!!
joyeuses fetes!



"Olivier" a écrit dans le message news:
41cfe70b$0$11546$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Ta réponse est la même que celle que j'avais donnée plus haut, il y a[/color]
deux[color=green]
> > jours...
>
> J'imagine, oui, et je l'espere (enfin entre toi et Michel)
> Honnetement, j'ai juste essaye d'ecrire le tout le facon
> un peu plus explicite pour que tout soit clair pour Artie
> qui avait l'air un peu perdu.e.
> O.
>[/color]

[Anonyme]

j ai fait une petite coquille, je voulais écrire:
Désolé Cyberchand,mais je pense que Olivier a plus approché mon
> problème... mais le probleme n'est pas là,
merci à vous!


"artie" a écrit dans le message news:
K3Vzd.11806$Tn1.346304@news20.bellglobal.com...
> Bonjour!Merci à vous!
> Désolé Cyberchand,mais je pense que Cyberchand a plus approché mon
> problème...
> Je crois que j'ai compris pourquoi les livres nous en parlent, mais il
> devrait nous dire que c'est juste pour simplifier la rédaction...
> c'est pour que le passage des séries dans l equat diff à un systeme
donnant
> les "a indice n" par récurrence avec l unicité (avec l unin=cité: le coeff
> de chaque x^n doit etre nul et non peut etre nul...) cela devient une
> implication et donc la solution "série" possible (suivant le rayon)....et
la
> on est tous d accord la dessus, et cela on l'avait tous compris... et
c'est
> vrai avec le th de cauchy cela n'est pas necessaire de parler de cette
> unicité du DSE, mais pour le rédiger il faut ecrire un peu plus et c'est
> plutot un peu désagréable...
>
> voila ma conclusion: j'ai manqué de finesse en pensant naivement que les
> livres me donnaient une solution en utilisant "le moins de connaissances
> possibles", et vu comme ils insistaient la dessus (comme des bourrins sur
> cette fameuse phrase sur l unicité du DSE), je n'ai pas osé penser aussi
> simplement... finalement il n'est pas necessaire d'écrire cette phrase,
mais
> cela oblige:
> 1) une rédaction un pleu plus lourde.
> 2) une redaction peu habituelle pour un correcteur pressé...et donc des
> points qui peuvent être perdu rapidement...
>
> meci a vous, et dites moi si je me suis planté!!!
> joyeuses fetes!
>
>
>
> "Olivier" a écrit dans le message news:
> 41cfe70b$0$11546$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green][color=darkred]
> > > Ta réponse est la même que celle que j'avais donnée plus haut, il y a[/color]
> deux[color=darkred]
> > > jours...
> >
> > J'imagine, oui, et je l'espere (enfin entre toi et Michel)
> > Honnetement, j'ai juste essaye d'ecrire le tout le facon
> > un peu plus explicite pour que tout soit clair pour Artie
> > qui avait l'air un peu perdu.e.
> > O.
> >[/color]
>
>[/color]