Dodéaèdre

[Anonyme]

Bonjour

je ne suis pas mathématicien et j'ai besoin d'aide.

Voic mon problème :

Un docécaèdre est formé de 12 pentagrammes réguliers tous identiques.
Chaque pentagramme a des angles égaux à 144 degrés.

Quel est l'angle formé par un côté du docécaèdre et la face à laquelle
il est opposé ?

Il s'agit de créer une forme qui représente les sommets sur lesquels
seront fixés des barres identiques, permettant ainsi de construire un
dodécaèdre.

Une méthode simple consisterait à construire 12 pentagrammes
iudentiques et à les fixer ensembles, mais cela multiplie le volume de
matière première par 2. D'où ma question.

Merci d'avance

P. Martin

[Anonyme]

> Un docécaèdre est formé de 12 pentagrammes réguliers tous identiques.
> Chaque pentagramme a des angles égaux à 144 degrés.

Sauf erreur, il s'agit de pentagones réguliers et leurs angles font 3pi/5,
soit 108°

>
> Quel est l'angle formé par un côté du docécaèdre et la face à laquelle
> il est opposé ?

Je ne comprends pas bien le concept de côté opposé à une face.

Dans le dodécaèdre régulier (12 pentagones réguliers), je pense que deux
faces opposées sont parallèles.

Que devient la question dans ce cas ?

Cordialement
Patrick

[Anonyme]

On Mon, 17 Jan 2005 13:15:52 +0100, "Patrick Coilland"
wrote:
[color=green]
>> Un docécaèdre est formé de 12 pentagrammes réguliers tous identiques.
>> Chaque pentagramme a des angles égaux à 144 degrés.
>
>Sauf erreur, il s'agit de pentagones réguliers et leurs angles font 3pi/5,
>soit 108°
>[/color]
Merci de m'avoir rectifié cette erreur.
[color=green]
>>
>> Quel est l'angle formé par un côté du docécaèdre et la face à laquelle
>> il est opposé ?
>[/color]


>Dans le dodécaèdre régulier (12 pentagones réguliers), je pense que deux
>faces opposées sont parallèles.
>
>Que devient la question dans ce cas ?
>

De chaque sommet du dodécaèdre (il y en a 20) sont issus 3 segments
qui se joignent à d'autre pentagrammes. Il s'agit de créer la pièce
qui lie ces segments, donc 3 fois 108 degrés (un peu comme un
chapeau).

Pour la construction, on peut considérer une pyramide régulière de
sommet S et de base ABC ayant 3 arêtes égales. Les 3 angles au sommet
ont une mesure de 108°.
Sur la face SBC traçons la bissectrice de l'angle BSC. Appelons
cette bissectrice SK.
Quel est l'angle formé par SA et SK ? Voila quelle est ma question.


>Cordialement
>Patrick
>
>
avec toutes mes excuses pour ma mauvaise rédaction
Pierre MArtin.

[Anonyme]

P. Martin a écrit:
> Bonjour
>
> je ne suis pas mathématicien et j'ai besoin d'aide.
>
> Voic mon problème :
>
> Un docécaèdre est formé de 12 pentagrammes réguliers tous identiques.
> Chaque pentagramme a des angles égaux à 144 degrés.
>
> Quel est l'angle formé par un côté du docécaèdre et la face à laquelle
> il est opposé ?
>
> Il s'agit de créer une forme qui représente les sommets sur lesquels
> seront fixés des barres identiques, permettant ainsi de construire un
> dodécaèdre.
>
> Une méthode simple consisterait à construire 12 pentagrammes
> iudentiques et à les fixer ensembles, mais cela multiplie le volume de
> matière première par 2. D'où ma question.

ce solide est un dodécaèdre pentagonal. S'il est issu du cube, il existe
dans la nature. Par ex Google sur ce terme mène à :
http://www.chez.com/pgosse/gem/cube.htm
qui pourra t'aider à comprendre ce qui se passe.
J'eqça

[Anonyme]

P. Martin a écrit:
> Bonjour
>
> je ne suis pas mathématicien et j'ai besoin d'aide.

autre découverte sur le net :
http://jacxl.free.fr/cours_xl/cours_xl_jac.html#polyedres
(marche pas avec Netsacpe, sniff)

[Anonyme]

>
> De chaque sommet du dodécaèdre (il y en a 20) sont issus 3 segments
> qui se joignent à d'autre pentagrammes. Il s'agit de créer la pièce
> qui lie ces segments, donc 3 fois 108 degrés (un peu comme un
> chapeau).

Ok, je n'avais pas bien compris

>
> Pour la construction, on peut considérer une pyramide régulière de
> sommet S et de base ABC ayant 3 arêtes égales. Les 3 angles au sommet
> ont une mesure de 108°.
> Sur la face SBC traçons la bissectrice de l'angle BSC. Appelons
> cette bissectrice SK.
> Quel est l'angle formé par SA et SK ? Voila quelle est ma question.
>
Parfaitement clair

Résultat : 121° 43'

Calcul :

Si je dis SA = SB = SC = 1,
SBC est isocèle d'angle S valant 3pi/5. Les deux autres angles valent donc
pi/5.

Donc SK = sin(pi/5)

Par ailleurs, AB = BC = CA = 2cos(pi/5)
Et AK = AC sqrt(3)/2 car c'est la hauteur / médiatrice d'un triangle
équilatéral.

Donc AK = sqrt(3) cos(pi/5)

Donc, le triangle ASK est déterminé ainsi :
AS = 1
SK = sin (pi/5)
AK = sqrt(3) cos (pi/5)

Il faut en déduire l'angle SA,SK.

Si j'abaisse dans ASK la hauteur de S sur AK et que j'appelle H le pied de
cette hauteur, j'ai :
SK^2 = SH^2 + HK^2
SA^2 = SH^2 + (AK - HK)^2
et donc :
SK^2 - SA^2 = HK^2 - (AK - HK)^2
SK^2 - SA^2 = 2 AK HK - AK^2
HK = (AK^2 + SK^2 - SA^2) / (2 AK)

Soit :
HK = (3 cos^2(pi/5) + sin^2(pi/5) - 1) / (2 sqrt(3) cos(pi/5))
HK = cos(pi/5) / sqrt(3)

et donc AH = AK - HK = sqrt(3) cos(pi/5) - cos(pi/5)/sqrt(3)
et :
HK = cos(pi/5) / sqrt(3)
AH = 2 cos(pi/5) / sqrt(3)

L'angle cherché Têta est arcsin(HK/SK) + arcsin(AH/AS)

D'où le résultat :

Têta = arcsin(cotan(pi/5)/sqrt(3)) + arcsin(2cos(pi/5)/sqrt(3))

Valeur numérique :
Têta = 2,124 radians
Têta = 121° 43'

Sauf erreur de calcul (mais j'ai vérifié au moins une fois)

Voilà
Patrick

[Anonyme]

On Mon, 17 Jan 2005 15:24:33 +0100, "Patrick Coilland"
wrote:
[color=green]
>>
>> De chaque sommet du dodécaèdre (il y en a 20) sont issus 3 segments
>> qui se joignent à d'autre pentagrammes. Il s'agit de créer la pièce
>> qui lie ces segments, donc 3 fois 108 degrés (un peu comme un
>> chapeau).
>
>Ok, je n'avais pas bien compris
>
>>
>> Pour la construction, on peut considérer une pyramide régulière de
>> sommet S et de base ABC ayant 3 arêtes égales. Les 3 angles au sommet
>> ont une mesure de 108°.
>> Sur la face SBC traçons la bissectrice de l'angle BSC. Appelons
>> cette bissectrice SK.
>> Quel est l'angle formé par SA et SK ? Voila quelle est ma question.
>>
>Parfaitement clair
>
>Résultat : 121° 43'
>
>Calcul :
>
>Si je dis SA = SB = SC = 1,
>SBC est isocèle d'angle S valant 3pi/5. Les deux autres angles valent donc
>pi/5.
>
>Donc SK = sin(pi/5)
>
>Par ailleurs, AB = BC = CA = 2cos(pi/5)
>Et AK = AC sqrt(3)/2 car c'est la hauteur / médiatrice d'un triangle
>équilatéral.
>
>Donc AK = sqrt(3) cos(pi/5)
>
>Donc, le triangle ASK est déterminé ainsi :
> AS = 1
> SK = sin (pi/5)
> AK = sqrt(3) cos (pi/5)
>
>Il faut en déduire l'angle SA,SK.
>
>Si j'abaisse dans ASK la hauteur de S sur AK et que j'appelle H le pied de
>cette hauteur, j'ai :
> SK^2 = SH^2 + HK^2
> SA^2 = SH^2 + (AK - HK)^2
>et donc :
> SK^2 - SA^2 = HK^2 - (AK - HK)^2
> SK^2 - SA^2 = 2 AK HK - AK^2
> HK = (AK^2 + SK^2 - SA^2) / (2 AK)
>
>Soit :
> HK = (3 cos^2(pi/5) + sin^2(pi/5) - 1) / (2 sqrt(3) cos(pi/5))
> HK = cos(pi/5) / sqrt(3)
>
>et donc AH = AK - HK = sqrt(3) cos(pi/5) - cos(pi/5)/sqrt(3)
>et :
> HK = cos(pi/5) / sqrt(3)
> AH = 2 cos(pi/5) / sqrt(3)
>
>L'angle cherché Têta est arcsin(HK/SK) + arcsin(AH/AS)
>
>D'où le résultat :
>
> Têta = arcsin(cotan(pi/5)/sqrt(3)) + arcsin(2cos(pi/5)/sqrt(3))
>
>Valeur numérique :
> Têta = 2,124 radians
> Têta = 121° 43'
>
>Sauf erreur de calcul (mais j'ai vérifié au moins une fois)
>
>Voilà
>Patrick
>[/color]

Finalement ce n'était quand même pas si simple....
Merci beaucoup

P. Martin