Diagonalisation

[Anonyme]

Bonjour

J'ai eu un cours théorique sur la diagonalisation et en fin de compte je ne
sais pas comment on diagonalise
Par exemple j'ai l'exo suivant
Diagonaliser les endomorphismes suivants définies par leur matrices
relativement à la base canonique
M= ( 3 2 3
2 3 2
2 2 3 )
et N = 1/7 ( 6 2 -3
2 3 6
-3 6 -2 )
Si qq1 pouvait m'expliquer comment on fait .. Merci beaucoup

[Anonyme]

B. a écrit :
> Bonjour

Bonjour
>
> J'ai eu un cours théorique sur la diagonalisation et en fin de compte je ne
> sais pas comment on diagonalise
> Par exemple j'ai l'exo suivant
> Diagonaliser les endomorphismes suivants définies par leur matrices
> relativement à la base canonique
> M= ( 3 2 3
> 2 3 2
> 2 2 3 )
> et N = 1/7 ( 6 2 -3
> 2 3 6
> -3 6 -2 )
> Si qq1 pouvait m'expliquer comment on fait .. Merci beaucoup

Tu commences par calculer le polynôme caractéristique de ta matrice. Tu
obtiendras ainsi 3 valeurs propres distinctes ou non qui seront les
racines de ce polynôme. Soit a1,a2,a3 ces valeurs propres.
Tu résouds l'équation MX=a1X tu obtiendras l'espace propre de la valeur
propre a1.
Tu fais de même avec les 2 autres valeurs propres.
Tu regardes si ta matrice est diagonalisable (condition sur la dimension
des espaces propres).
Si c'est le cas, tu n'as plus qu'à écrire que M est semblable à
diag(a1,a2,a3) et la matrice P est (c1,c2,c3) où c_i est un vecteur
propre relativement à la valeur propre a_i.

Bonne journée.

Cédric.

[Anonyme]

none a écrit:
> B. a écrit :
>[color=green]
>> Bonjour
>
>
> Bonjour
>
>>
>> J'ai eu un cours théorique sur la diagonalisation et en fin de compte
>> je ne
>> sais pas comment on diagonalise[/color]
.....
[color=green]
>> Si qq1 pouvait m'expliquer comment on fait .. Merci beaucoup
>
>
>....
> Tu regardes si ta matrice est diagonalisable (condition sur la dimension
> des espaces propres).
> Si c'est le cas, tu n'as plus qu'à écrire que M est semblable à
> diag(a1,a2,a3) et la matrice P est (c1,c2,c3) où c_i est un vecteur
> propre relativement à la valeur propre a_i.[/color]

C'est un cercle.. vicieux ça , non ?

[Anonyme]

B. a écrit:
> Bonjour
>
> J'ai eu un cours théorique sur la diagonalisation et en fin de compte je ne
> sais pas comment on diagonalise
> Par exemple j'ai l'exo suivant
> Diagonaliser les endomorphismes suivants définies par leur matrices
> relativement à la base canonique
> M= ( 3 2 3
> 2 3 2
> 2 2 3 )
> et N = 1/7 ( 6 2 -3
> 2 3 6
> -3 6 -2 )
> Si qq1 pouvait m'expliquer comment on fait .. Merci beaucoup

Il s'agit en fait de changer la base dans laquelle on exprime
l'endomorphisme. Comme toute base est exprimable en fonction d'une autre
par des combinaisons linéaires, toute matrice qui se déduit d'une autre
par une transformation de ce type exprime le même endomorphisme dans une
base différente. Ce qui donne un procédé pratique : on fait des C.L des
lignes et des colonnes (comme pour résoudre le système M(x)=y) choisies
pour faire apparaître peu à peu une matrice diagonale.