Critère d'Alembert

[Anonyme]

Bonjour,
Pourriez-vous me dire si mon raisonnement est correct?

Le but est de savoir si la série u(n) = n! / n^n est convergente ou
divergente

u(n+1) / u(n) = n^n / (n+1)^n!
ce qui équivaut à dire n^n > (n+1)^n! ce qui est faux
La série est donc divergente


Le but est de savoir si la série u(n) = 1 / n est convergente ou divergente

u(n+1) / u(n) =n / (n+1)
ce qui équivaut à dire n > (n+1) ce qui est faux
La série est donc divergente

[Anonyme]

Bonjour,

Dans news:bjdbc4$5d1$1@news.tiscali.fr,
Aurélien a écrit :
> Bonjour,
> Pourriez-vous me dire si mon raisonnement est correct?
>
> Le but est de savoir si la série u(n) = n! / n^n est convergente ou
> divergente
>
> u(n+1) / u(n) = n^n / (n+1)^n!

plutôt = n^n / (n+1)^n

> ce qui équivaut à dire n^n > (n+1)^n! ce qui est faux
> La série est donc divergente

Je ne vois pas quel raisonnement tu mets en oeuvre.
Qu'est ce qui équivaut à dire que n^n > (n+1)^n ??

S'il s'agit d'appliquer le critère de d'Alembert, il faut étudier la
limite, si elle existe, de u(n+1)/u(n)
donc de n^n / (n+1)^n
dont le Ln vaut :
n Ln(n/(n+1))
La limite de cette quantité est -1
donc u(n+1)/u(n) tend vers 1/e

1/e est strictement inférieur à 1 donc la série converge.

>
> Le but est de savoir si la série u(n) = 1 / n est convergente ou
> divergente
>
> u(n+1) / u(n) =n / (n+1)
> ce qui équivaut à dire n > (n+1) ce qui est faux
> La série est donc divergente

Ici d'Alembert ne permet pas de conclure car u(n+1)/u(n) tend vers 1.

(tout ça sauf erreur)

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

> u(n+1) / u(n) = n^n / (n+1)^n!
> ce qui équivaut à dire n^n > (n+1)^n! ce qui est faux
> La série est donc divergente

Non...
En revanche la série est convergente d'après la formule de Stirling.

>
> Le but est de savoir si la série u(n) = 1 / n est convergente ou
divergente
>
> u(n+1) / u(n) =n / (n+1)
> ce qui équivaut à dire n > (n+1) ce qui est faux
> La série est donc divergente
>

Je vois vraiment pas ce qui te permet de passer à "n>n+1"...
Ici la série diverge car 1/n ~ ln(1+1/n) = ln(n+1)-ln(n) terme général d'une
série télescopique divergente.

--
Julien Santini

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
3f5a398a$0$13297$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Dans news:bjdbc4$5d1$1@news.tiscali.fr,
> Aurélien a écrit :[color=green]
> > Bonjour,
> > Pourriez-vous me dire si mon raisonnement est correct?
> >
> > Le but est de savoir si la série u(n) = n! / n^n est convergente ou
> > divergente
> >
> > u(n+1) / u(n) = n^n / (n+1)^n!
>
> plutôt = n^n / (n+1)^n
>
> > ce qui équivaut à dire n^n > (n+1)^n! ce qui est faux
> > La série est donc divergente
>
> Je ne vois pas quel raisonnement tu mets en oeuvre.
> Qu'est ce qui équivaut à dire que n^n > (n+1)^n ??[/color]

J'ai dit que le critère dit que si la limite est 1 elle est divergente
donc si u(n+1) / u(n) >1 alors la série est divergente
d'où u(n+1) > u(n) et donc n^n > (n+1)^n
Non ....?

>
> S'il s'agit d'appliquer le critère de d'Alembert, il faut étudier la
> limite, si elle existe, de u(n+1)/u(n)
> donc de n^n / (n+1)^n
> dont le Ln vaut :
> n Ln(n/(n+1))
> La limite de cette quantité est -1
> donc u(n+1)/u(n) tend vers 1/e
>
> 1/e est strictement inférieur à 1 donc la série converge.
>[color=green]
> >
> > Le but est de savoir si la série u(n) = 1 / n est convergente ou
> > divergente
> >
> > u(n+1) / u(n) =n / (n+1)
> > ce qui équivaut à dire n > (n+1) ce qui est faux
> > La série est donc divergente
>
> Ici d'Alembert ne permet pas de conclure car u(n+1)/u(n) tend vers 1.
>
> (tout ça sauf erreur)
>
> --
> Cordialement,
> Bruno
>[/color]

[Anonyme]

Dans news:bjdp50$o1o$1@news.tiscali.fr,
Aurélien a écrit :
> "bc92" a écrit[color=green]
>> Aurélien a écrit :[color=darkred]
>>>
>>> Le but est de savoir si la série u(n) = n! / n^n est convergente ou
>>> divergente
>>>
>>> u(n+1) / u(n) = n^n / (n+1)^n!
>>
>> plutôt = n^n / (n+1)^n
>>
>>> ce qui équivaut à dire n^n > (n+1)^n! ce qui est faux
>>> La série est donc divergente
>>
>> Je ne vois pas quel raisonnement tu mets en oeuvre.
>> Qu'est ce qui équivaut à dire que n^n > (n+1)^n ??[/color]
>
> J'ai dit que le critère dit que si la limite est est convergente et si elle est >1 elle est divergente[/color]

Exact.

> donc si u(n+1) / u(n) >1 alors la série est divergente

Une série positive à termes croissants ne peut pas converger, pas besoin
de d'Alembert pour l'affirmer.
Ne pas confondre terme courant et limite.

> d'où u(n+1) > u(n) et donc n^n > (n+1)^n
> Non ....?

Je crois que tu es simplement en train de souligner que pour tout n,
u(n+1)/u(n) est > S'il s'agit d'appliquer le critère de d'Alembert, il faut étudier la
>> limite, si elle existe, de u(n+1)/u(n)
>> donc de n^n / (n+1)^n
>> dont le Ln vaut :
>> n Ln(n/(n+1))
>> La limite de cette quantité est -1
>> donc u(n+1)/u(n) tend vers 1/e
>>
>> 1/e est strictement inférieur à 1 donc la série converge.[/color][/color]

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Merci pour ton aide Bruno !

"bc92" a écrit dans le message de news:
3f5aebfe$0$27591$626a54ce@news.free.fr...
> Dans news:bjdp50$o1o$1@news.tiscali.fr,
> Aurélien a écrit :[color=green]
> > "bc92" a écrit[color=darkred]
> >> Aurélien a écrit :
> >>>
> >>> Le but est de savoir si la série u(n) = n! / n^n est convergente ou
> >>> divergente
> >>>
> >>> u(n+1) / u(n) = n^n / (n+1)^n!
> >>
> >> plutôt = n^n / (n+1)^n
> >>
> >>> ce qui équivaut à dire n^n > (n+1)^n! ce qui est faux
> >>> La série est donc divergente
> >>
> >> Je ne vois pas quel raisonnement tu mets en oeuvre.
> >> Qu'est ce qui équivaut à dire que n^n > (n+1)^n ??
> >
> > J'ai dit que le critère dit que si la limite est > est convergente et si elle est >1 elle est divergente[/color]
>
> Exact.
>
> > donc si u(n+1) / u(n) >1 alors la série est divergente
>
> Une série positive à termes croissants ne peut pas converger, pas besoin
> de d'Alembert pour l'affirmer.
> Ne pas confondre terme courant et limite.
>
> > d'où u(n+1) > u(n) et donc n^n > (n+1)^n
> > Non ....?
>
> Je crois que tu es simplement en train de souligner que pour tout n,
> u(n+1)/u(n) est que, s'il y a une limite, elle n'est pas supérieure à 1. Cela ne te dit
> pas s'il existe une limite, ni si elle est plutôt inférieure à 1 ou
> plutôt égale à 1.
> Pour faire du d'Alembert, il faut étudier la limite et sa valeur par
> rapport à 1 (voir mon 1er post ci-dessous).
>[color=darkred]
> >> S'il s'agit d'appliquer le critère de d'Alembert, il faut étudier la
> >> limite, si elle existe, de u(n+1)/u(n)
> >> donc de n^n / (n+1)^n
> >> dont le Ln vaut :
> >> n Ln(n/(n+1))
> >> La limite de cette quantité est -1
> >> donc u(n+1)/u(n) tend vers 1/e
> >>
> >> 1/e est strictement inférieur à 1 donc la série converge.[/color]
>
> --
> Cordialement,
> Bruno
>[/color]