Connexité

[Anonyme]

Bonsoir,

Comment montrer que H = ([0,1] x {0}) U ({0} x [0,1]) U ({1/n; n entier
strct. positif} x [0,1]) est connexe mais non connexe par arcs?
ça doit être simple mais là je m'embrouille (c'est surtout le caractère
connexe qui m'intéresse; pour la connexité par arcs je pense qu'il faut
remarquer que H est non fermé, car A=(0,1/2) n'est pas dans H et tout
voisinage de A dans R^2 intersecte H; mais H devrait être fermé comme image
d'un compact par une application continue. Est-ce correct? ).

Merci

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Julien Santini

[Anonyme]

Julien Santini wrote:
> Comment montrer que H = ([0,1] x {0}) U ({0} x [0,1]) U ({1/n; n entier
> strct. positif} x [0,1]) est connexe mais non connexe par arcs?

si A=adhérence({1/n,n entier >0}
alors H= ([0,1] x {0}) U (A x [0,1])
En faisant un dessin, on voit que H est une sorte de peigne dont les dents se
resserrent plus on se rapproche de l'axe des ordonnées.

Bizarre, H n'est pas connexe par arcs?
J'aurais dit que H est connexe par arcs car pour aller d'un point à l'autre, on
descend le long de la parralèle à l'axe des ordonnées jusqu'à l'axe des
abscisses, puis,on va à l'ordonnée cherchée et on remonte, non?

[Anonyme]

> Bizarre, H n'est pas connexe par arcs?

Warning: j'avais annulé ce post et corrigé l'énoncé: en fait H = ([0,1] x
{0}) U ({0} x {0,1}) U ({1/n; n entier positif} x [0,1]), et il faut montrer
que H est connexe non connexe par arcs.

@+