Bonjour
Comment montre-t-on que les compacts de R
sont ses intervalles bornés et fermés ?
--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr
Compacts de R
11 messages
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Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
Bonjour
> Comment montre-t-on que les compacts de R
> sont ses intervalles bornés et fermés ?
Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes (y'a peut-être plus
simple).
1°) La droite numérique Rb achevée est compacte ( montrer que [0,1] est
compact et homéomorphe à Rb)
2°) Tout fermé d'un quasi-compact est quasi-compact (trivial)
3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
4°) Les compacts d'un espace compact sont ses fermés (découle immédiatement
de 2°) et 3°)
5°) Les compacts de R sont les fermés bornés (car Rb est compact donc K est
compact dans R => il est compact dans K et ne contient pas les extrémités
+/- oo, donc fermé borné dans K, donc dans R.)
Les compacts de R^n sont aussi ses fermés bornés.
> Comment montre-t-on que les compacts de R
> sont ses intervalles bornés et fermés ?
Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes (y'a peut-être plus
simple).
1°) La droite numérique Rb achevée est compacte ( montrer que [0,1] est
compact et homéomorphe à Rb)
2°) Tout fermé d'un quasi-compact est quasi-compact (trivial)
3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
4°) Les compacts d'un espace compact sont ses fermés (découle immédiatement
de 2°) et 3°)
5°) Les compacts de R sont les fermés bornés (car Rb est compact donc K est
compact dans R => il est compact dans K et ne contient pas les extrémités
+/- oo, donc fermé borné dans K, donc dans R.)
Les compacts de R^n sont aussi ses fermés bornés.
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
> Comment montre-t-on que les compacts de R
> sont ses intervalles bornés et fermés ?
Au passage, un fermé borné de R n'est pas toujours un intervalle.
> sont ses intervalles bornés et fermés ?
Au passage, un fermé borné de R n'est pas toujours un intervalle.
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50512),
a écrit :
> Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes
Glups. Franchement, je ne suis pas sûr que ce soit le genre de réponse
qu'il attendait, mais oui, pourquoi pas ?
> 3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
Tiens, ça je l'ai démontré il n'y a pas longtemps dans un autre post.
a écrit :
> Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes
Glups. Franchement, je ne suis pas sûr que ce soit le genre de réponse
qu'il attendait, mais oui, pourquoi pas ?
> 3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
Tiens, ça je l'ai démontré il n'y a pas longtemps dans un autre post.
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
"Julien Santini" writes:
> Bonjour
>[color=green]
> > Comment montre-t-on que les compacts de R
> > sont ses intervalles bornés et fermés ?[/color]
Déjà ce sont les fermés bornés : pas les intervalles, n'importe quoi
de fermé borné fait l'affaire.
> Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes (y'a peut-être plus
> simple).
> 1°) La droite numérique Rb achevée est compacte ( montrer que [0,1] est
> compact et homéomorphe à Rb)
> 2°) Tout fermé d'un quasi-compact est quasi-compact (trivial)
> 3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
> 4°) Les compacts d'un espace compact sont ses fermés (découle immédiatement
> de 2°) et 3°)
> 5°) Les compacts de R sont les fermés bornés (car Rb est compact donc K est
> compact dans R => il est compact dans K et ne contient pas les extrémités
> +/- oo, donc fermé borné dans K, donc dans R.)
>
> Les compacts de R^n sont aussi ses fermés bornés.
Rigolo. Tu as pas une démonstation encore plus flashy ?
Bon. Humble algébriste ayant quitté la prépa depuis 10 ans... n'ayant
pas touché un de ces machins depuis... 7 ans... je me lance quand
même.
On va utiliser la définition des compacts dans un espace métrique :
toute suite de K admet une valeur d'adhérence (dans K).
Soit K un compact.
Montrons que K est fermé : il suffit de montrer que si une suite u_n
d'éléments de K admet une limite l dans R, alors l est dans K
(*). Comme par définition des compacts, u_n admet une valeur
d'adhérence dans K, la seule valeur d'adhérence de u_n étant l, l est
dans K.
Montrons que K est borné : s'il ne l'est pas pour tout n entier il
existe u_n dans K tel que u_n > n. Il est facile de montrer que la
suite (u_n) n'admet pas de valeur d'adhérence (ni dans K ni dans R).
J'ai bon ? Normalement c'est comme le vélo, ça revient vite.
(*) si c'est pas dans le cours, l'équivalence avec « le complémentaire
est ouvert » est pas très dure. Essaie. Si tu y arrives pas, dis nous
ce que tu as essayé, où ça coince, etc. On t'aidera.
> Bonjour
>[color=green]
> > Comment montre-t-on que les compacts de R
> > sont ses intervalles bornés et fermés ?[/color]
Déjà ce sont les fermés bornés : pas les intervalles, n'importe quoi
de fermé borné fait l'affaire.
> Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes (y'a peut-être plus
> simple).
> 1°) La droite numérique Rb achevée est compacte ( montrer que [0,1] est
> compact et homéomorphe à Rb)
> 2°) Tout fermé d'un quasi-compact est quasi-compact (trivial)
> 3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
> 4°) Les compacts d'un espace compact sont ses fermés (découle immédiatement
> de 2°) et 3°)
> 5°) Les compacts de R sont les fermés bornés (car Rb est compact donc K est
> compact dans R => il est compact dans K et ne contient pas les extrémités
> +/- oo, donc fermé borné dans K, donc dans R.)
>
> Les compacts de R^n sont aussi ses fermés bornés.
Rigolo. Tu as pas une démonstation encore plus flashy ?
Bon. Humble algébriste ayant quitté la prépa depuis 10 ans... n'ayant
pas touché un de ces machins depuis... 7 ans... je me lance quand
même.
On va utiliser la définition des compacts dans un espace métrique :
toute suite de K admet une valeur d'adhérence (dans K).
Soit K un compact.
Montrons que K est fermé : il suffit de montrer que si une suite u_n
d'éléments de K admet une limite l dans R, alors l est dans K
(*). Comme par définition des compacts, u_n admet une valeur
d'adhérence dans K, la seule valeur d'adhérence de u_n étant l, l est
dans K.
Montrons que K est borné : s'il ne l'est pas pour tout n entier il
existe u_n dans K tel que u_n > n. Il est facile de montrer que la
suite (u_n) n'admet pas de valeur d'adhérence (ni dans K ni dans R).
J'ai bon ? Normalement c'est comme le vélo, ça revient vite.
(*) si c'est pas dans le cours, l'équivalence avec « le complémentaire
est ouvert » est pas très dure. Essaie. Si tu y arrives pas, dis nous
ce que tu as essayé, où ça coince, etc. On t'aidera.
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:boano3$19d$1@news-reader3.wanadoo.fr...
> Bonjour
>[color=green]
> > Comment montre-t-on que les compacts de R
> > sont ses intervalles bornés et fermés ?
>
> Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes (y'a peut-être plus
> simple).
> 1°) La droite numérique Rb achevée est compacte ( montrer que [0,1] est
> compact et homéomorphe à Rb)
> 2°) Tout fermé d'un quasi-compact est quasi-compact (trivial)
> 3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
> 4°) Les compacts d'un espace compact sont ses fermés (découle[/color]
immédiatement
> de 2°) et 3°)
> 5°) Les compacts de R sont les fermés bornés (car Rb est compact donc K
est
> compact dans R => il est compact dans K et ne contient pas les extrémités
> +/- oo, donc fermé borné dans K, donc dans R.)
>
> Les compacts de R^n sont aussi ses fermés bornés.
>
>
Voilà comment j'aurais fait (sans prétention avec de vieux souvenirs) :
La définition d'une partie compact C dans un espace métrique E que j'avais
eu en sup
était une partie telle qu'on puisse extraire de toute suite une suite
convergente.
De là, on montre facilement que ces parties sont fermées bornées.
bornée, sinon on construit facilement une suite sans valeur d'adhérence.
fermée, parce que d'une suite convergente d'élements de C, si on extrait "la
meme
suite" elle est toujours convergente et sa limite est forcément dans E.
Donc il s'agit de montrer la réciproque dans R.
Là, on cherche quelle propriété caractéristique de R utiliser. (si je me
souviens
bien, il y en a plusieurs équivalente qui d'ailleurs caractérise plus ou
moins R non ??? du
style suite croissante majorée converge, propriété de la borne sup, th de
bolzano weirstrass... ).
Bref, le th de Bolzano Weierstrass (?) dit que de toute suite bornée dans R
on peut extraire une
suite convergente.
Soit C un fermé borné de R et une suite d'élements de C. On peut en extraire
une suite convergente
qui converge dans C puisque C est fermé.
news:boano3$19d$1@news-reader3.wanadoo.fr...
> Bonjour
>[color=green]
> > Comment montre-t-on que les compacts de R
> > sont ses intervalles bornés et fermés ?
>
> Bon je détaille pas mais voilà les grandes lignes (y'a peut-être plus
> simple).
> 1°) La droite numérique Rb achevée est compacte ( montrer que [0,1] est
> compact et homéomorphe à Rb)
> 2°) Tout fermé d'un quasi-compact est quasi-compact (trivial)
> 3°) Tout compact d'un espace séparé est fermé (c'est le point délicat)
> 4°) Les compacts d'un espace compact sont ses fermés (découle[/color]
immédiatement
> de 2°) et 3°)
> 5°) Les compacts de R sont les fermés bornés (car Rb est compact donc K
est
> compact dans R => il est compact dans K et ne contient pas les extrémités
> +/- oo, donc fermé borné dans K, donc dans R.)
>
> Les compacts de R^n sont aussi ses fermés bornés.
>
>
Voilà comment j'aurais fait (sans prétention avec de vieux souvenirs) :
La définition d'une partie compact C dans un espace métrique E que j'avais
eu en sup
était une partie telle qu'on puisse extraire de toute suite une suite
convergente.
De là, on montre facilement que ces parties sont fermées bornées.
bornée, sinon on construit facilement une suite sans valeur d'adhérence.
fermée, parce que d'une suite convergente d'élements de C, si on extrait "la
meme
suite" elle est toujours convergente et sa limite est forcément dans E.
Donc il s'agit de montrer la réciproque dans R.
Là, on cherche quelle propriété caractéristique de R utiliser. (si je me
souviens
bien, il y en a plusieurs équivalente qui d'ailleurs caractérise plus ou
moins R non ??? du
style suite croissante majorée converge, propriété de la borne sup, th de
bolzano weirstrass... ).
Bref, le th de Bolzano Weierstrass (?) dit que de toute suite bornée dans R
on peut extraire une
suite convergente.
Soit C un fermé borné de R et une suite d'élements de C. On peut en extraire
une suite convergente
qui converge dans C puisque C est fermé.
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
Pierre Capdevila wrote:
> Comment montre-t-on que les compacts de R
> sont ses intervalles bornés et fermés ?
Les compacts de R sont les fermés bornés, y'a pas que les intervalles (à moins
que tu rajoutes la connexité aussi ).
**Il est clair que les compacts sont fermés bornés
**pour montrer qu'un fermé borné de R (et plus généralement d'un espave
vectoriel de dim finie) ets compact, il sufft d'invoquer Bolzano-Weierstrass
> Comment montre-t-on que les compacts de R
> sont ses intervalles bornés et fermés ?
Les compacts de R sont les fermés bornés, y'a pas que les intervalles (à moins
que tu rajoutes la connexité aussi ).
**Il est clair que les compacts sont fermés bornés
**pour montrer qu'un fermé borné de R (et plus généralement d'un espave
vectoriel de dim finie) ets compact, il sufft d'invoquer Bolzano-Weierstrass
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
"Le Grand Schtroumpf" writes:
> Donc il s'agit de montrer la réciproque dans R.
Tiens, j'aurais des problèmes de logique en plus ? Purée. Je vais me
cacher dans un trou.
> Là, on cherche quelle propriété caractéristique de R utiliser. (si je me
> souviens
> bien, il y en a plusieurs équivalente qui d'ailleurs caractérise plus ou
> moins R non ??? du
> style suite croissante majorée converge, propriété de la borne sup, th de
> bolzano weirstrass... ).
> Bref, le th de Bolzano Weierstrass (?) dit que de toute suite bornée dans R
> on peut extraire une
> suite convergente.
> Soit C un fermé borné de R et une suite d'élements de C. On peut en extraire
> une suite convergente
> qui converge dans C puisque C est fermé.
On peut dire puisque K est borné, on le considère inclus dans un
intervalle de longueur L. On découpe cet intervalle en deux morceaux
A_1 et A_2 de longeur L/2 : la suite u_n a une infinité de termes dans
un des deux morceaux. On garde ce morceau là, mettons A_1 et on prend
v_1 un élement de K inter A_1.
Et puis on recommence : on trouve un intervalle B_1 inclus dans A_1
de longueur L/4 qui contient une infinité de termes de u_n. On prend
v_2 parmi ces termes.
Puis C_1 inclus dans B_1 de longueur L/8 qui contient (etc). On prend
v_3 dedans.
Avec un petit dessin ça passera mieux.
La suite (v_i) est un suite extraite de u_n.
On a | v_(i+1) - v_(i) | <= 2 ^ (-i)
Donc | v_m - v_n | = | v_m - v_(m_1) + v_(m-1) - ... + v_(n+1) - v_n |
< 2^(-n) + 2^(-n-1) + ...
etc... On conclut que la suite (v_i) est de Cauchy. Donc elle converge.
> Donc il s'agit de montrer la réciproque dans R.
Tiens, j'aurais des problèmes de logique en plus ? Purée. Je vais me
cacher dans un trou.
> Là, on cherche quelle propriété caractéristique de R utiliser. (si je me
> souviens
> bien, il y en a plusieurs équivalente qui d'ailleurs caractérise plus ou
> moins R non ??? du
> style suite croissante majorée converge, propriété de la borne sup, th de
> bolzano weirstrass... ).
> Bref, le th de Bolzano Weierstrass (?) dit que de toute suite bornée dans R
> on peut extraire une
> suite convergente.
> Soit C un fermé borné de R et une suite d'élements de C. On peut en extraire
> une suite convergente
> qui converge dans C puisque C est fermé.
On peut dire puisque K est borné, on le considère inclus dans un
intervalle de longueur L. On découpe cet intervalle en deux morceaux
A_1 et A_2 de longeur L/2 : la suite u_n a une infinité de termes dans
un des deux morceaux. On garde ce morceau là, mettons A_1 et on prend
v_1 un élement de K inter A_1.
Et puis on recommence : on trouve un intervalle B_1 inclus dans A_1
de longueur L/4 qui contient une infinité de termes de u_n. On prend
v_2 parmi ces termes.
Puis C_1 inclus dans B_1 de longueur L/8 qui contient (etc). On prend
v_3 dedans.
Avec un petit dessin ça passera mieux.
La suite (v_i) est un suite extraite de u_n.
On a | v_(i+1) - v_(i) | <= 2 ^ (-i)
Donc | v_m - v_n | = | v_m - v_(m_1) + v_(m-1) - ... + v_(n+1) - v_n |
< 2^(-n) + 2^(-n-1) + ...
etc... On conclut que la suite (v_i) est de Cauchy. Donc elle converge.
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
> Rigolo. Tu as pas une démonstation encore plus flashy ?
>
[snip]
> On va utiliser la définition des compacts dans un espace métrique :
> toute suite de K admet une valeur d'adhérence (dans K).
>
Ben voyons...
Quand un élève de deug/prépa me pose la question (cf un autre post
d'aujourd'hui sur l'image d'un compact par f continue est compact) je
réponds à un niveau deug/prépa. Simplement Pierre était en licence l'année
dernière , donc il a fait de la topo. Maintenant c'est sûr que si on se met
à admettre cette définition de compacité dans le cas métrique, y'a plus rien
à faire, et la proposition est sans intérêt.
D'un autre côté, démontrer cette équivalence est au moins aussi laborieux
que s'en passer.
--
J.S
>
[snip]
> On va utiliser la définition des compacts dans un espace métrique :
> toute suite de K admet une valeur d'adhérence (dans K).
>
Ben voyons...
Quand un élève de deug/prépa me pose la question (cf un autre post
d'aujourd'hui sur l'image d'un compact par f continue est compact) je
réponds à un niveau deug/prépa. Simplement Pierre était en licence l'année
dernière , donc il a fait de la topo. Maintenant c'est sûr que si on se met
à admettre cette définition de compacité dans le cas métrique, y'a plus rien
à faire, et la proposition est sans intérêt.
D'un autre côté, démontrer cette équivalence est au moins aussi laborieux
que s'en passer.
--
J.S
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:07
> D'un autre côté, démontrer cette équivalence est au moins aussi laborieux
> que s'en passer.
L'équivalence des deux définitions de compacité dans le cas métrique,
j'entends...
> que s'en passer.
L'équivalence des deux définitions de compacité dans le cas métrique,
j'entends...
Re: Compacts de R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:08
Julien Santini a écrit:
> Ben voyons...
> Quand un élève de deug/prépa me pose la question (cf un autre post
> d'aujourd'hui sur l'image d'un compact par f continue est compact) je
> réponds à un niveau deug/prépa. Simplement Pierre était en licence l'année
> dernière , donc il a fait de la topo. Maintenant c'est sûr que si on se met
> à admettre cette définition de compacité dans le cas métrique, y'a plus rien
> à faire, et la proposition est sans intérêt.
> D'un autre côté, démontrer cette équivalence est au moins aussi laborieux
> que s'en passer.
Je répondrais presque « contretest » si je m'écoutais.
> Ben voyons...
> Quand un élève de deug/prépa me pose la question (cf un autre post
> d'aujourd'hui sur l'image d'un compact par f continue est compact) je
> réponds à un niveau deug/prépa. Simplement Pierre était en licence l'année
> dernière , donc il a fait de la topo. Maintenant c'est sûr que si on se met
> à admettre cette définition de compacité dans le cas métrique, y'a plus rien
> à faire, et la proposition est sans intérêt.
> D'un autre côté, démontrer cette équivalence est au moins aussi laborieux
> que s'en passer.
Je répondrais presque « contretest » si je m'écoutais.
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