La chaîne de magasins 7-Eleven...

[Anonyme]

La chaîne de magasins 7-Eleven (7-11) est très connue en Amérique :
son nom vient de ce que ses magasins sont ouverts de 7 heures du matin
à 11 heures du soir.
Alors voici le problème, dont la solution est connue, mais pour lequel
je cherche une preuve élégante et non un calcul par "force brute".
La jeune Alice achète quatre articles et, au moment de payer, elle
fait remarquer à Bob, le caissier, que le total à payer s'élève
justement à 7,11 dollars. Mais alors Bob, qui est passionné par les
coïncidences numériques, lui fait observer que le produit des quatre
prix est lui aussi égal à 7,11 !
Quels sont ces quatre prix et comment trouve-t-on cette unique
solution le plus astucieusement possible ?
---
jfa

[Anonyme]

jf alcover wrote:

> La chaîne de magasins 7-Eleven (7-11) est très connue en Amérique :
> son nom vient de ce que ses magasins sont ouverts de 7 heures du matin
> à 11 heures du soir.
> Alors voici le problème, dont la solution est connue, mais pour lequel
> je cherche une preuve élégante et non un calcul par "force brute".
> La jeune Alice achète quatre articles et, au moment de payer, elle
> fait remarquer à Bob, le caissier, que le total à payer s'élève
> justement à 7,11 dollars. Mais alors Bob, qui est passionné par les
> coïncidences numériques, lui fait observer que le produit des quatre
> prix est lui aussi égal à 7,11 !
> Quels sont ces quatre prix et comment trouve-t-on cette unique
> solution le plus astucieusement possible ?

Voilà une solution qui peut se faire à la main, sans trop de calculs, et
surtout sans l'aide d'un ordinateur.

Soient a, b, c et d les quatre prix en dollars.
a + b + c + d = a.b.c.d = 7,11.

Exprimons les prix en cents : A=100a, etc.
A + B + C + D = 711
A.B.C.D = 711 000 000 = (3^2)×79×(2^6)×(5^6).

L'un des nombres, mettons A, est multiple de 79.
1) A = 79, S = B+C+D = 632, P = B.C.D = 9 000 000
2) A = 158, S = B+C+D = 553, P = B.C.D = 4 500 000
3) A = 237, S = B+C+D = 474, P = B.C.D = 3 000 000
4) A = 316, S = B+C+D = 395, P = B.C.D = 2 250 000
5) A = 395, S = B+C+D = 316, P = B.C.D = 1 800 000 STOP !

À partir de A = 395, cela ne marche plus car le tiers de S devient plus
petit que la racine cubique de P : il est alors impossible de trouver
trois nombres dont la somme vaut S et le produit P. Nous n'avons donc
que les quatre premiers cas à envisager.

Notons que dans chaque cas, le produit B.C.D est divisible par 5^6. Il
est impossible que chacun des trois nombres B, C et D soit divisible par
25, car leur somme ne l'est pas. Donc, en vertu du principe des tiroirs,
il y a au moins un nombre, appelons-le B, qui est divisible par 125.

Dans les cas (1), (2) et (3), la somme S n'est pas divisible par 5,
alors que B l'est. Donc C+D n'est pas divisible par 5, et au moins l'un
des deux nombres n'est pas divisible par 5. Par conséquent, c'est
l'autre qui est divisible par 5, et même par 125. Appelons-le C. B et C
sont divisibles par 125. Le nombre restant, D, n'a que des 2 et des 3
dans sa décomposition en facteurs premiers, et on l'obtient en
soustrayant un certain nombre de fois 125 de S (au moins deux fois).

Voyons les différents cas possibles :
1) S = 632, D = 382 ou 257 ou 132 ou 7.
2) S = 553, D = 303 ou 178 ou 53.
3) S = 474, D = 224 ou 99.
Tous ces nombres ont au moins un diviseur premier plus grand que 3.

Donc nous sommes dans le cas numéro (4) :
4) A = 316, S = B+C+D = 395, P = B.C.D = 2 250 000, 125 divise B.

Voyons les différentes possibilités pour B.
4.1) B = 125, S' = C+D = 270, P' = C.D = 18000
4.2) B = 250, S' = C+D = 145, P' = C.D = 9000 STOP !

Là encore, on n'ira pas plus loin car la moitié de S' devient plus
petite que la racine carrée de P'.

Nous avons donc :
A = 316, B = 125, C+D = 270 et C.D = 18000.

Il est facile de conclure :
A = 316, B = 125, C = 120, D = 150.

Les prix sont donc, dans l'ordre croissant : 1,20 ; 1,25 ; 1,50 ; 3,16.

Cette solution est-elle suffisamment simple à tes yeux ? Note que plutôt
que de calculer des racines carrées ou cubiques, on peut calculer des
carrés et des cubes, ce qui est faisable même sans calculette.

[Anonyme]

jf.alcover@bdpme.fr (jf alcover) wrote in message news:...
> La chaîne de magasins 7-Eleven (7-11) est très connue en Amérique :
> son nom vient de ce que ses magasins sont ouverts de 7 heures du matin
> à 11 heures du soir.
> Alors voici le problème, dont la solution est connue, mais pour lequel
> je cherche une preuve élégante et non un calcul par "force brute".
> La jeune Alice achète quatre articles et, au moment de payer, elle
> fait remarquer à Bob, le caissier, que le total à payer s'élève
> justement à 7,11 dollars. Mais alors Bob, qui est passionné par les
> coïncidences numériques, lui fait observer que le produit des quatre
> prix est lui aussi égal à 7,11 !
> Quels sont ces quatre prix et comment trouve-t-on cette unique
> solution le plus astucieusement possible ?
> ---
> jfa

Ce problème n'est pas vraiment récent!
Il date en fait de 1997 : voir le newsgroup rec.puzzles
et notamment le post de David Conrad pour des idées de solution.
---
poupoulinou

[Anonyme]

Jean-Claude Poujade wrote:

> Ce problème n'est pas vraiment récent!
> Il date en fait de 1997 : voir le newsgroup rec.puzzles
> et notamment le post de David Conrad pour des idées de solution.

Merci, je viens de le trouver :
http://www.google.fr/groups?threadm=603n7i%24j1p%241%40newsserv.grfn.org

Mais après la solution que j'ai donnée il y a trois quarts d'heure, la
chose la plus importante que m'apprend ce fil, c'est que la commande
'bc' peut traiter des nombres non entiers, avec l'option '-l' ! Un grand
merci à Abigail, avec six ans de retard, et à toi pour m'avoir permis de
le lire.

[Anonyme]

Olivier Miakinen , dans le message (fr.education.entraide.maths:47770),
a écrit :
> Mais après la solution que j'ai donnée il y a trois quarts d'heure, la
> chose la plus importante que m'apprend ce fil, c'est que la commande
> 'bc' peut traiter des nombres non entiers, avec l'option '-l' !

L'option -l permet surtout à ce que je comprends de redéfinir la
division, et permettre ainsi des résultats non entiers... Mais bon,
peu importe.

Sinon, comme on me l'a dit un jour, il faut utiliser dc (moi, j'utilise
toujours bc, mais bon chut...), et ça marche bien :

xavier@boumbo ~ $ dc
8 k 1 3 / p
..33333333

et c'est très intuitif

[Anonyme]

Olivier Miakinen wrote in message news:...
> jf alcover wrote:
>[color=green]
> > La chaîne de magasins 7-Eleven (7-11) est très connue en Amérique :
> > son nom vient de ce que ses magasins sont ouverts de 7 heures du matin
> > à 11 heures du soir.
> > Alors voici le problème, dont la solution est connue, mais pour lequel
> > je cherche une preuve élégante et non un calcul par "force brute".
> > La jeune Alice achète quatre articles et, au moment de payer, elle
> > fait remarquer à Bob, le caissier, que le total à payer s'élève
> > justement à 7,11 dollars. Mais alors Bob, qui est passionné par les
> > coïncidences numériques, lui fait observer que le produit des quatre
> > prix est lui aussi égal à 7,11 !
> > Quels sont ces quatre prix et comment trouve-t-on cette unique
> > solution le plus astucieusement possible ?
>
> Voilà une solution qui peut se faire à la main, sans trop de calculs, et
> surtout sans l'aide d'un ordinateur.
>
> Soient a, b, c et d les quatre prix en dollars.
> a + b + c + d = a.b.c.d = 7,11.
>
> Exprimons les prix en cents : A=100a, etc.
> A + B + C + D = 711
> A.B.C.D = 711 000 000 = (3^2)×79×(2^6)×(5^6).
>
> L'un des nombres, mettons A, est multiple de 79.[/color]
[...]
Bravo pour cette solution élégante et lumineuse qui, en théorie,
est à la portée d'un lycéen (pour ne pas dire d'un collégien!).
Est-ce qu'un jour un logiciel genre Mathematica sera capable
de trouver ça tout seul? Je me pose la question...
Encore bravo et merci.
---
jfa
ps : mes compliments pour le A majuscule accent grave!