Caracteristique d'un corps

[Anonyme]

bonjour,

Soit K corps fini de caracteristique p, montrer que son cardinal est une
puissance de p.

la caracteristique de K est le min des n dans N* tel que n*1K=0K
notons déja qu'un tel corps n'est pas integre.

je ne vois pas comment raisonner à partir du cardinal.

merci de m'aider

[Anonyme]

On 28 Sep 2003 16:33:01 GMT, navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

>bonjour,
>
>Soit K corps fini de caracteristique p, montrer que son cardinal est une
>puissance de p.
>
>la caracteristique de K est le min des n dans N* tel que n*1K=0K
>notons déja qu'un tel corps n'est pas integre.
>
>je ne vois pas comment raisonner à partir du cardinal.
>
si tu as vu que tout corps de cara p contient un sous-corps P
iso à Z/pZ si p non nul, iso à Q si p=0 :
cf K est fini , c'est qu'ici P est iso à Z/pZ
il n'y a plus qu'à dire que K est un ev sur P : il admet une base
finie
>
>

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Pichereau Alain

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[Anonyme]

> si tu as vu que tout corps de cara p contient un sous-corps P
> iso à Z/pZ si p non nul, iso à Q si p=0 :
> cf K est fini , c'est qu'ici P est iso à Z/pZ
> il n'y a plus qu'à dire que K est un ev sur P : il admet une base
> finie

Bonsoir,

Je connais pas ce résultat alors je propose une approche plus grossière:
(p0 car le corps est fini)
On note H une partie génératrice (pour l'addition) minimale de notre corps
C. H existe car C est fini.
Si card(H)=1 (on prend H={1}) alors card()=p^1 (trivial).
Si card()=p^n pour card(H)=n, alors au rang n+1:
Soit J partie génératrice minimale de C telle que card(J)=n+1. On sait que
si u est dans J, alors card()=p^n. L'adjonction de l'élément u
permet alors d'engendrer exactement les éléments (tous distincts entre eux
et distincts des éléments de C, preuve omise): Z={u, u+v, u+2v,...,
u+(p-1)v, 2u, 2u+v,...,2u+(p-1)v,...,...,(p-1)u,(p-1)u+v,...(p-1)u+(p-1)v; v
in } avec card Z = (p-1)*p^n d'où card()=
p^n+(p-1)*p^n=p^(n+1).
Bon à défaut d'être joli ça serait cool si quelqu'un pouvait me dire si
c'est juste.

@+
--
Julien Santini