Barycentres

[Anonyme]

Une question que je me pose à laquelle je ne trouve
pas de réponse ...

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
on considère les 4 points :

I = (1,0)
J = (0,1)
A (dans le premier quadrant)
B (dans le premier quadrant)

Existe-t-il un couple (x, y) de réels tel que
les points
G = barycentre des points (A,x) et (B,y)
G' = barycentre des points (I,x) et (J,y)
O = (0,0)

soient alignés ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Le Sat, 4 Oct 2003 21:01:05 +0200,
Pierre Capdevila grava à la saucisse et au marteau:

> Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
> on considère les 4 points :
>
> I = (1,0)
> J = (0,1)
> A (dans le premier quadrant)
> B (dans le premier quadrant)
>
> Existe-t-il un couple (x, y) de réels tel que
> les points
> G = barycentre des points (A,x) et (B,y)
> G' = barycentre des points (I,x) et (J,y)
> O = (0,0)
>
> soient alignés ?

A = (a1,a2)
B = (b1,b2)

OG = (xa1+yb1,xa2+yb2)
OG' = (x, y)
(je suppose x+y = 1)

Il faut donc (xa1+yb1)/x = (xa2 + yb2)/y

xy*a1 + y^2*b1 = x^2*a2 + xy*b1

Le discriminant de l'équation en y vaut x^2*(a1-b1)^2 - 4x^2*a2*b1
Donc si (a1-b1)^2 - 4a2*b1 >=0, tu as des solutions.

Ou alors je me suis vautré comme une grosse otarie bourrée à la bière,
ce qui est loin d'être impossible.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux a écrit
> A = (a1,a2)
> B = (b1,b2)
>
> OG = (xa1+yb1,xa2+yb2)
> OG' = (x, y)
> (je suppose x+y = 1)
>
> Il faut donc (xa1+yb1)/x = (xa2 + yb2)/y
>
> xy*a1 + y^2*b1 = x^2*a2 + xy*b1
>
> Le discriminant de l'équation en y vaut
> x^2*(a1-b1)^2 - 4x^2*a2*b1

C'est pas plutôt
x^2*(a1-b1)^2 + 4x^2*a2*b1 ?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Merci pour ta réponse, mais je n'arrive pas à
faire marcher ta méthode dans l'espace :

On considère les 6 points :

I = (1,0,0)
J = (0,1,0)
K = (0,0,1)
A (dans le premier octant)
B (dans le premier octant)
C (dans le premier octant)

Existe-t-il un triplet (x, y,z) de réels tel que les
points

G = barycentre des points (A,x), (B,y) et (C,z)
G' = barycentre des points (I,x)), (J,y) et (K, z)
O = (0,0,0)

soient alignés ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Dans le message :slrnbnu7a4.em7.nicolas@zen.via.ecp.fr,
Nicolas Le Roux a écrit :
> Le Sat, 4 Oct 2003 21:01:05 +0200,
> Pierre Capdevila grava à la saucisse et au
> marteau:
>[color=green]
>> Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
>> on considère les 4 points :
>>
>> I = (1,0)
>> J = (0,1)
>> A (dans le premier quadrant)
>> B (dans le premier quadrant)
>>
>> Existe-t-il un couple (x, y) de réels tel que
>> les points
>> G = barycentre des points (A,x) et (B,y)
>> G' = barycentre des points (I,x) et (J,y)
>> O = (0,0)
>>
>> soient alignés ?
>
> A = (a1,a2)
> B = (b1,b2)
>
> OG = (xa1+yb1,xa2+yb2)
> OG' = (x, y)
> (je suppose x+y = 1)
>
> Il faut donc (xa1+yb1)/x = (xa2 + yb2)/y
>
> xy*a1 + y^2*b1 = x^2*a2 + xy*b1
>
> Le discriminant de l'équation en y vaut x^2*(a1-b1)^2 - 4x^2*a2*b1
> Donc si (a1-b1)^2 - 4a2*b1 >=0, tu as des solutions.
>
> Ou alors je me suis vautré comme une grosse otarie bourrée à la bière,
> ce qui est loin d'être impossible.[/color]

Je crois qu'il faut pousser un peu plus loin :
comme y=1-x, on obtient
x(1-x)a1+(1-x)²b1 - x²a2 - x(1-x)b2 = 0
Equation du second degré en x
On note que ce trinôme vaut b1 pour x=0 et -a2 pour x=1
Comme a2 et b1 sont positifs (premier quadrant), le trinôme change de
signe entre 0 et 1.
Donc quels que soient A et B dans le premier quadrant, il y a une et
une seule solution x comprise entre 0 et 1.
Les cas extrèmes x=0 ou x=1 s'obtiennent soit quand A est sur l'axe des
abcisses soit quand B est sur l'axe des ordonnées.

--
Cordialement
Bruno