Automorphisme.

[Anonyme]

bonjour,

les automrphismes de Z[X] sont-ils tous de la forme P -> P(aX+b) où a=+-1 et
b dans Z ?


Si la réponse est oui, peut-on généraliser à A[X], avec A anneau quelconque,
a inversible dans A, et b dans A ?


Merci.


--
Jean-éric Richard

[Anonyme]

> les automrphismes de Z[X] sont-ils tous de la forme P -> P(aX+b) où a=+-1 et
> b dans Z ?

Oui. Bon exercice.

> Si la réponse est oui, peut-on généraliser à A[X], avec A anneau quelconque,
> a inversible dans A, et b dans A ?

Non: regarde par exemple avec A=Z[Y]. Par contre, si tu regardes les
automorphismes de A-algèbre, c'est vrai.

--
Yves

[Anonyme]

Yves De Cornulier wrote:[color=green]
>>les automrphismes de Z[X] sont-ils tous de la forme P -> P(aX+b) où a=+-1 et
>>b dans Z ?
>
>
> Oui. Bon exercice.
>
>
>>Si la réponse est oui, peut-on généraliser à A[X], avec A anneau quelconque,
>>a inversible dans A, et b dans A ?
>
>
> Non: regarde par exemple avec A=Z[Y]. Par contre, si tu regardes les
> automorphismes de A-algèbre, c'est vrai.
>
> --
> Yves[/color]

Bonjour,

Juste comme c'est un bon mon exercice, peux tu regarder ma solution ?

Soit f un automorphisme de l'anneau Z[X]. Alors f(1)0 et
f(1)=f(1)*f(1) => f(1)=1.
Ensuite montrons que deg(f(X))=1. Par l'absurde, on suppose deg(f(X))1.
-Si deg(f(X))=0 donc f(X)=d (0). Pour tout p de N, f(X^p)=d^p et donc
pout tout P de Z[X], deg(f(P))=0. Donc f n'est pas un automorphisme.
-Si deg(f(X))>1 on peut ecrire f(X)=d*X^p + Q avec p>2. Donc quelque
soit n > 1 , f(X^n)=f(X)^n et donc deg(f(X^n))=np >1 et finalement que
pour tout P de degre >= 1, deg(f(P))>1. On deduit que le polynome X n'a
pas d'antécédent par f et donc f n'est pas un automorphisme.
On deduit finalement que f(X)=a*X+b avec a et b dans Z. Ensuite, en
remarquant que pour P=an*X^n + ... + a1*X + a0 on a
f(P)=an*f(X)^n+...+a1*f(X)+a0=P(a*X+b), on a montré que f est de la
forme P -> P(a*X+b).

Réciproquement, f de la forme précédente est bien un morphisme de Z[X].
On remarque que g : P -> P((X-b)/a) vérifie gof=fog=id. D'ou l'on tire
que f est un automorphisme ssi a=+-1.

Capt'n Stac

[Anonyme]

"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news: cf85vg$8vv$2@nef.ens.fr...[color=green]
> > les automrphismes de Z[X] sont-ils tous de la forme P -> P(aX+b) où[/color]
a=+-1 et[color=green]
> > b dans Z ?
>
> Oui. Bon exercice.
>
> > Si la réponse est oui, peut-on généraliser à A[X], avec A anneau[/color]
quelconque,[color=green]
> > a inversible dans A, et b dans A ?
>
> Non: regarde par exemple avec A=Z[Y]. Par contre, si tu regardes les
> automorphismes de A-algèbre, c'est vrai.
>
> --
> Yves[/color]

Merci Yves,

en fait j'ai fait l'exercice en question, mais je me posais la question de
fond :

Quels sont les anneaux A pour lesquels les automorphismes de A[X] sont de la
forme P->P(ax+b) ?

Jean-éric.

[Anonyme]

Stac , dans le message (fr.education.entraide.maths:57214), a écrit :
> Juste comme c'est un bon mon exercice, peux tu regarder ma solution ?

Elle me semble correcte.


"murichard" , dans le message (fr.education.entraide.maths:57218), a
écrit :

> Quels sont les anneaux A pour lesquels les automorphismes de A[X] sont de la
> forme P->P(ax+b) ?

Pas forcément évident... une remarque: si A possède un automorphisme non
trivial, alors A[X] a des automorphismes qui ne sont pas de la forme
proposée.

Si A=Z/nZ ou Z, ou R, ou n'importe quel sous-corps de R dont le
groupe de Galois sur Q est trivial, alors A satisfait à ta propriété.

--
Yves

[Anonyme]

Le Fri, 13 Aug 2004 08:35:48 +0000, Yves De Cornulier a écrit :

> Si A=Z/nZ ou Z, ou R, ou n'importe quel sous-corps de R dont le
> groupe de Galois sur Q est trivial, alors A satisfait à ta propriété.

Tiens j'aimerais bien savoir ce qu'est un groupe de Galois ?

[Anonyme]

Jeff , dans le message (fr.education.entraide.maths:57318), a écrit :
>
> Tiens j'aimerais bien savoir ce qu'est un groupe de Galois ?

Si L est un corps (commutatif) et K un sous-corps, l'ensemble des
automorphismes de de la K-algèbre L est appelé groupe de Galois de L sur
K, et est (souvent) noté Gal(L|K).

[Anonyme]

"Yves De Cornulier" a écrit dans le message de
news:cf85vg$8vv$2@nef.ens.fr...[color=green]
> > les automrphismes de Z[X] sont-ils tous de la forme P -> P(aX+b) où[/color]
a=+-1 et[color=green]
> > b dans Z ?
>
> Oui. Bon exercice.[/color]

Comment on le montre? Il est clair qu'il suffit de poser Q = phi(X) pour
avoir phi(P) = P(Q), mais comment montrer qu'on peut se restreindre à Q de
degré 1?

[Anonyme]

> Comment on le montre? Il est clair qu'il suffit de poser Q = phi(X) pour
> avoir phi(P) = P(Q), mais comment montrer qu'on peut se restreindre à Q de
> degré 1?

Parce que X est dans l'image: X=P(Q) pour un polynôme P. Mais
1=deg(P(Q))=deg(P)deg(Q) (en convenant que deg(0)=0 exceptionnellement).
Donc deg(Q)=1.