(MP) a l'air facile

[Anonyme]

comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?

[Anonyme]

Jules a écrit :
> comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?


J'ai jamais trouvé cet exo facile (Olympiades des années 70 je crois).
Sinon,
en posant N_{m,n}=(2m!)(2n!)/(m!n!(m+n)!) alors
N_{m+1,n}+N_{m,n+1}=4N_{m,n}.

Sloane ne dit rien d'intéressant au sujet de cette suite.

Pascal

[Anonyme]

Jules a écrit :
>
> comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?

C'est exactement C(2n,n) C(2m,m) / C(n+m,m)
Ceci dit j'ai la flemme de réfléchir à une situation où ce nombre
apparaîtrait comme entier!

--
Nico.

[Anonyme]

pascal a écrit :
> Jules a écrit :
>[color=green]
>> comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?
>
>
>
> J'ai jamais trouvé cet exo facile (Olympiades des années 70 je crois).
> Sinon,
> en posant N_{m,n}=(2m!)(2n!)/(m!n!(m+n)!) alors
> N_{m+1,n}+N_{m,n+1}=4N_{m,n}.
>
> Sloane ne dit rien d'intéressant au sujet de cette suite.
>
> Pascal[/color]

Complément :

Si on définit $c_{m,n}^{(k)}$ par

$$(1+x)^m(1-x)^n=\sum_{k=0}^{m+n}c_{m,n}^{(k)}x^k$$

alors

$$N_{m,n}=\sum_{k=0}^{m+n}(c_{m,n}^{(k)})^2 $$

(Amer. Math. Monthly, Oct 1976)


Pascal

[Anonyme]

Nicolas Richard , dans le message (fr.education.entraide.maths:55963), a
écrit :
> C'est exactement C(2n,n) C(2m,m) / C(n+m,m)
> Ceci dit j'ai la flemme de réfléchir à une situation où ce nombre
> apparaîtrait comme entier!

Soient une urne avec 2n boules rouges et une urne avec 2m boules
bleues. Le nombre que tu as écrit est le nombre de tirages
« simultanés » de n boules rouges et m boules bleues.

De façon plus mathématique : soient A et B deux ensembles disjoints
de cardinaux respectifs 2n et 2m. Le nombre que tu as écrit est
le nombre de parties de (A u B) qui intersectent A sur un ensemble
de n éléments et B sur un ensemble de m éléments.

[Anonyme]

"Xavier Caruso" a écrit dans le message de news:
c8iqdt$ukb$1@nef.ens.fr...
> Nicolas Richard , dans le message (fr.education.entraide.maths:55963), a
> écrit :[color=green]
> > C'est exactement C(2n,n) C(2m,m) / C(n+m,m)
> > Ceci dit j'ai la flemme de réfléchir à une situation où ce nombre
> > apparaîtrait comme entier!
>
> Soient une urne avec 2n boules rouges et une urne avec 2m boules
> bleues. Le nombre que tu as écrit est le nombre de tirages
> « simultanés » de n boules rouges et m boules bleues.
>
> De façon plus mathématique : soient A et B deux ensembles disjoints
> de cardinaux respectifs 2n et 2m. Le nombre que tu as écrit est
> le nombre de parties de (A u B) qui intersectent A sur un ensemble
> de n éléments et B sur un ensemble de m éléments[/color]


Je ne suis pas d'accord, le nombre de tirages « simultanés » de n boules
rouges et m boules bleues est C(2n,n) C(2m,m).
Tu considères par exemple, C={1,2,3,4} A={1,3} et B={2,4}
Alors les sous-ensembles à deux éléments de C contenant un élément de A et
un élément de B est
{1,2}, {1,4}, {3,2}, {3,4} donc il y a 4 éléments et non C(2,1) C(2,1 /
C(2,1)=2.
J'avais déjà réfléchi à un problème combinatoire mais rien ne semble sortir.
La formule initiale fait "plus ou moins" pensé à un comptage d'anagramme
d'un mot mais cela ne convient pas.



*********************
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corrigé du sujet Ecricome 2004 Eco (DS6)
un résumé du cours de phec première année Eco
une bonne centaine d'exercices spé PSI*,MP, MP* avec indications et
corrections
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[Anonyme]

> comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?

Dans 95% des exos de ce genre, "formule" de Legendre.
Ici, E(2A)+E(2B) >= E(A)+E(B)+E(A+B) pour tous réels positifs A et B permet
de conclure.

--
Julien Santini

[Anonyme]

le message de news: XnF94EFBFD4A12B3jules@212.27.42.70...
> comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?

De mémoire, A(m,n)=(2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) vérifie une relation de
récurrence simple
A(m,n) + A(m-1,n+1) = 4*A(m-1,n) (sauf erreur)
Puis récurrence....

--
Géry Huvent
http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent
"Jules" a écrit dans

[Anonyme]

- Julien Santini :
[color=green]
>> comment montrer que (2m)!(2n)!/(n! m! (n+m)! ) est entier ?
>
> Dans 95% des exos de ce genre, "formule" de Legendre.
> Ici, E(2A)+E(2B) >= E(A)+E(B)+E(A+B) pour tous réels positifs A et B
> permet de conclure.[/color]

ok, mais cette formule de Legendre est-elle si connue que ca ? Je l'ai vue
en exo, mais je pensais pas que c'était supposé connu.

[Anonyme]

> ok, mais cette formule de Legendre est-elle si connue que ca ? Je l'ai
vue
> en exo, mais je pensais pas que c'était supposé connu.

Ben j'ai du la voir dans déjà bien 6 exos de type olympiade ... dans le cas
d'un quotient de produits de factorielles le problème se ramène toujours à
ça.

[Anonyme]

"Masterbech" , dans le message (fr.education.entraide.maths:55966), a
écrit :
> Je ne suis pas d'accord, le nombre de tirages « simultanés » de n
> boules rouges et m boules bleues est C(2n,n) C(2m,m).

Argh, oui zut...

--
Xavier, qui écris plein de conneries, ces temps-ci...

[Anonyme]

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:
> Dans 95% des exos de ce genre, "formule" de Legendre.
> Ici, E(2A)+E(2B) >= E(A)+E(B)+E(A+B) pour tous réels positifs A et B
permet
> de conclure.

pardon, pardon
c'est quoi cette formule de Legendre ?on l'utilise comment ?

[Anonyme]

Xavier, qui écri**t** plein de conneries, ces temps-ci...



C'est la fin de l'année ...

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:55976), a écrit :
> Xavier, qui écri**t** plein de conneries, ces temps-ci...
>
>
>
> C'est la fin de l'année ...

Non, là, pour le coup, je mets toujours à la première personne
dans une signature. Ce n'était pas une faute.

[Anonyme]

> pardon, pardon
> c'est quoi cette formule de Legendre ?on l'utilise comment ?
>

Le truc très simple qui te dit que la multiplicité du facteur premier p dans
n! est donnée par sum(E(n/p^r); r>=1). Prouver que le quotient de produits
de factorielles (a_1)!...(a_n)!/((b_1)!...(b_n)!) est entier revient alors à
montrer que: sum(E(b_i/p^r); r>=1, n>=i>=1) est inférieur à sum(E(a_i/p^r);
r>=1, n>=i>=1) pour tout p nombre premier.

@+
--
Julien Santini