X + y + z = xyz

[Lostounet]

Bonjour,

Comment trouver les triplets d'entiers naturels vérifiant:

x + y + z = xyz ?

Je trouve que 0 ...

[Zweig]

Yo,

Remarque que si (x, y, z) est un triplet solution, il en est de même de toutes les permutations. L'équation est donc symétrique en ses variables, tu peux donc, sans perte de généralité, par exemple supposer . Du coup, que peux-tu dire de (en terme d'inégalité) ? En déduis la valeur maximale de (en mettant de côté le triplet nul). Du coup, comme x et y sont des naturels, tu trouves toutes les valeurs possibles pour (x, y). Pour chacun des couples, trouve la valeur de z.

[Lostounet]

Yo,

Remarque que si (x, y, z) est un triplet solution, il en est de même de toutes les permutations. L'équation est donc symétrique en ses variables, tu peux donc, sans perte de généralité, par exemple supposer . Du coup, que peux-tu dire de (en terme d'inégalité) ? En déduis la valeur maximale de (en mettant de côté le triplet nul). Du coup, comme x et y sont des naturels, tu trouves toutes les valeurs possibles pour (x, y). Pour chacun des couples, trouve la valeur de z.

Salut Zweig,

Merci beaucoup !

Il n'y a pas beaucoup d'entiers naturels dont le produit donne 3 ou moins:
x = 1
y = 2
Donc:
z = 3


x = 1
y = 3
z = 1.5 (non)
J'en vois pas d'autre...

Mais qu'en est-il des "entiers" tout court? J'ai l'impression que le problème admettra trop (une infinité) de solutions, si on sort des naturels. C'est vrai? (En divisant par z, lorsque z est négatif...).

[Zweig]

Si tu supposes z positif, alors tu auras quelques cas supplémentaires à étudier, par contre si z est négatif, le sens de l'inégalité sera renversé et tu ne pourras plus rien dire ...

Puis (x,y) = (1,1) aussi

[Lostounet]

Si tu supposes z positif, alors tu auras quelques cas supplémentaires à étudier, par contre si z est négatif, le sens de l'inégalité sera renversé et tu ne pourras plus rien dire ...

Puis (x,y) = (1,1) aussi

Ah oui, mais z n'existe pas dans ce cas, non..?
2 = 0

Thanks !