Vendredi 13

[Anonyme]

Démontrer s'il est possible ou non qu'il y est une année sans vendredi 13 ....

[scelerat]

Démontrer s'il est possible ou non qu'il y est une année sans vendredi 13 ....

Si c'etait possible, ca se saurait...
Mais autre question, y-a-t-il plus ou moins de dimanches 13 que de vendredis 13 ?

[André]

Bonsoir !
Il y a 2 types d'année : bissextile (366 j) et non bissextile (365 j).
Dans les 2 cas, la distribution des jours de la semaine dans le calendrier ne dépend que d'un seul jour (par ex, le jour du 1er janvier détermine la répartition des jours sur toute l'année).
Il y a donc 7*2 = 14 possibilités !
Il suffit de vérifier au cas par cas...
(J'ai pas envie de le faire, je suis un gros fainéant ^^')

[André]

Il faut aussi rajouter que les 14 combinaisons sont possibles.

D'abord, dans le cas des années non bissextiles, 365 = 52*7 + 1 : 7 années successives d'années non bissextiles donnent donc nécessairement toutes les combinaisons (7) et il est effectivement possible d'avoir 7 années non bissextiles consécutives !

Rappel : si je ne me trompe pas, l'année est bissextile si elle est multiple de 4, SAUF si elle est multiple de 400 et non millénaire (2000 était bissextile !).

Dans le cas des années bissextiles, 366 = 52*7 + 2 : 7 années successives d'années bissextiles séparées de 4 ans (ie en évitant une période comprenant une année multiple de 400 et non millénaire) donnent donc toutes les combinaisons (7).

Voilà !

[André]

Bon, qui est volontaire pour vérifier les 14 combinaisons ?
Je vous aide encore pour la méthode !

Année non bissextile : si le 1er janvier est un...
- lundi...
- mardi...
...
Année bissextile : si le 1er janvier est un...
- lundi...
- mardi...
...

Courage ! (d'accord, d'accord, je suis un gros fainéant ! mais pas plus que ceux qui ne se lancent pas dans les 14 cas ! huhu ^^)

[Galt]

On peut démontrer qu'après une période de 400 ans les années suivent un même cycle (c'est-à-dire que le 1er janvier 1600 et le 1er janvier 2000 sont tombés un même jour). Il suffit donc d'étudier une période de 40 ans (et non de 2800 ans si ce n'était pas le cas). J'ai fait cette étude il y a bien longtemps, et j'ai trouvé que c'était le vendredi qui tombait le plus souvent un 13). C'est un exercice des olympiades internationales (aux alentour de 1982 ou 1983 je crois)

[fan de maths]

Je pense que c'est impossible.

Si on prend une année de 365 jours pour passer d'un 13 à l'autre on ajoute:
de janvier à février : 3 jours
de février à mars : 0 jours
de mars à avril : 3 jours
d'avril à mai : 2 jours
de mai à juin : 3 jours
de juin à juillet : 2 jours
de juillet à août : 3 jours
d'août à septembre : 3 jours
de septembre à octobre : 2 jours
d'octobre à novembre : 3 jours
de novembre à décembre : 2 jours

Si on prend les 7 premiers chiffres qui représentent les 7 jours de la semaine où le premier est quelconque en mettant une croix en dessous en commençant par le premier et ensuite tous les 2 ou 3 jours en fonction de l'ordre des jours ci-dessus on a :

1 2 3 4 5 6 7
x x x x x x x
x

donc déja en septembre le 13 a été au moins une fois chaque jours de la semaine.

Pour les années de 366 jours
de janvier à février : 3 jours
de février à mars : 1 jours
de mars à avril : 3 jours
d'avril à mai : 2 jours
de mai à juin : 3 jours
de juin à juillet : 2 jours
de juillet à août : 3 jours
d'août à septembre : 3 jours
de septembre à octobre : 2 jours
d'octobre à novembre : 3 jours
de novembre à décembre : 2 jours

donc on a:

1 2 3 4 5 6 7
x x x x x x x
x x
x

donc en octobre le 13 a été au moins une fois chaque jours de la semaine.

Donc on peut en déduire qu'il n'existe pas d'année sans vendredi 13.

[Chimerade]

Rappel : si je ne me trompe pas, l'année est bissextile si elle est multiple de 4, SAUF si elle est multiple de 400 et non millénaire (2000 était bissextile !).

Oui, mais tu te trompes ! La divisibilité par 1000 du quantième de l'année importe peu : l'an 3000 sera non bissextile !
Une année est bissextile si son quantième est multiple de quatre mais non multiple de 100, à l'exception du cas où il est multiple de 400 - dans ce cas l'année est bien bissextile. 1700, 1800, 1900 n'ont pas été bissextiles, 2000 l'était. 2100, 2200, 2300 ne seront pas bissextiles, 2400 le sera... tu verras !
Quant aux années 1500, 1400, elle ne sont pas concernées, le calendrier Grégorien n'ayant été promulgué dans l'église romaine que le lendemain du jeudi 4 Octobre 1582 qui fut bien un vendredi, mais le 15 Octobre 1582 : dix jours furent perdus. Une bonne partie de l'Europe adopta ce changement dans les quelques années qui suivirent. D'autres furent plus longs à la détente, notamment l'Angleterre et la Suède qui se rallièrent enfin en 1752, c'est-à-dire après l'an 1700 qui ne fut pas bissextile chez les usagers du calendrier Grégorien mais qui l'était toujours pour les adeptes du calendrier julien. Cela fait qu'en 1752, c'est onze jours et non dix qui disparurent soudainement, le lendemain du 2 Septembre 1752 étant le 14 septembre. Il est amusant de noter que le calendrier accessible dans les machines UNIX rapporte fidèlement cet événement en 1752, alors que 1582 est une année tout ce qu'il y a de plus normal selon lui : normal, ce sont des américains qui ont créé UNIX ! :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

[Chimerade]

Il suffit donc d'étudier une période de 40 ans (et non de 2800 ans si ce n'était pas le cas)

Faute de frappe : je suppose que tu voulais dire 400 ans.

On peut démontrer qu'après une période de 400 ans les années suivent un même cycle (c'est-à-dire que le 1er janvier 1600 et le 1er janvier 2000 sont tombés un même jour).

Très juste. Les années des siècles juliens avaient une longueur moyenne de 365,25 jours. Un siècle julien comportait 36525 jours. Conformément à la règle que j'ai rappelée dans le post précédent, dans le calendrier Grégorien il y a trois siècles de 36524 jours pour un siècle de 36525 jours, soit un total de 3*36524+36525 = 146097 jours soit exactement 20871 semaines.
Par contre, il y a 400*12, soit 4800 "treize du mois" dans cette période et comme ce nombre n'est pas divisible par 7, les lundis, mardis,...,dimanche ne peuvent être répartis équitablement, et comme ce schéma se répète éternellement tous les 4 siècles, l'équilibre n'est jamais rétabli. Quant à savoir si c'est le vendredi qui gagne, je n'ai pas fait le calcul : je te fais confiance !
:++:

[scelerat]

J'ai fait cette étude il y a bien longtemps, et j'ai trouvé que c'était le vendredi qui tombait le plus souvent un 13).

Je suis d'accord, mais je peux paradoxalement prouver que c'est faux : vu ma date de naissance, il n'y a aucune chance que je voie plus de vendredis 13 que de dimanches 13... :we:

[Chimerade]

Je suis d'accord, mais je peux paradoxalement prouver que c'est faux : vu ma date de naissance, il n'y a aucune chance que je voie plus de vendredis 13 que de dimanches 13... :we:

Comprends pas ! Explique ! D'ailleurs, ta date de naissance, c'est un secret ! On ne sait pas !

[scelerat]

Comprends pas ! Explique ! D'ailleurs, ta date de naissance, c'est un secret ! On ne sait pas !

Et bien la difference de frequence n'est pas constante sur les 400 ans, mais fluctue.
Donc si on est ne juste apres une periode ou les vendredis 13 ont ete frequents et peu apres un vendredi 13, on ne vit pas assez longtemps pour que la tendance puisse s'inverser...

[André]

Une année est bissextile si son quantième est multiple de quatre mais non multiple de 100, à l'exception du cas où il est multiple de 400 - dans ce cas l'année est bien bissextile. 1700, 1800, 1900 n'ont pas été bissextiles, 2000 l'était. 2100, 2200, 2300 ne seront pas bissextiles, 2400 le sera... tu verras !

Merci pour ce rappel ! Du coup, on peut effectivement avoir 7 années bissextiles successives (j'y tiens à ma démo ! ^^')
Remarque : en fait, pour en être vraiment sûr, j'espère pouvoir être encore de ce monde en 2100 pour vérifier que cette année ne sera pas bissextile ! et 2200 aussi tiens ! :ptdr:

[Chimerade]

Du coup, on peut effectivement avoir 7 années bissextiles successives

Euh, non bissextiles ? :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Remarque : en fait, pour en être vraiment sûr, j'espère pouvoir être encore de ce monde en 2100 pour vérifier que cette année ne sera pas bissextile ! et 2200 aussi tiens !

Taratata ! Ca ne suffit pas : il faut aussi que tu constates que 2400 est bien bissextile ; c'est trop facile sinon... Tiens, je te propose un RV le 29 Février 2400 !