Transpositions

par **Nightmare** » 05 Jan 2011, 00:25

Salut,

J'ai redécouvert en cours (encore un module d'algèbre, à croire que j'y prends goût ...) le résultat suivant, dont l'interprétation est la clé :

1) Montrer que les transpositions (12), (13), ..., (1n) engendrent le groupe symétrique

2) Combien au minimum a-t-on besoin de transpositions pour engendrer ?

1) est classique mais bon à rappeler
2) est plus intéressant. J'ai toujours "admis" le résultat sans trop me demander si le montrer était évident ou non.

Bon courage !

Niveau : Pour tous ceux qui savent ce qu'est le groupe symétrique et une transposition :lol3:

PS : Quelqu'un sait pourquoi la commande \mathfrak{S} ne donne pas le "S" usuel gothique désignant le groupe symétrique? (elle le fait sur les autres fora)

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 11:11

Salut,
Dire qu'un certain nombre de transpositions engendrent Sn signifie que le graphe dont les sommets sont les entiers 1..n et les arrêtes sont les transpositions choisies doit être connexe.
Cela implique qu'il doit y avoir au moins n-1 arrêtes (et il y a moulte solutions avec n-1 arrêtes)

par **Nightmare** » 05 Jan 2011, 12:55

J'aurais espéré que cette fois-ci un des "jeunes" trouve cette interprétation. Dommage... :triste:

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 13:27

J'enlève mon post pour que les d'jeuns cherchent...

Si tu veut chercher un peu plus "technique", montre qu'une présentation du groupe Sn est :

par **Nightmare** » 05 Jan 2011, 15:34

Merci Ben, je t'avouerai que je cherche depuis quelque temps des exos pour les "vieux" du forum (j'espère que les guillemets atténuent assez le mot pour ne pas t'en sentir offensé !), mais je n'ai rien rencontré d'intéressant récemment qui soit je pense amusant à votre niveau :(

Pour le plus "technique", ça tombe très bien, ça va avec mon nouveau module d'algèbre ! (groupes finis et représentations), je vais y réfléchir !

:happy3:

par **Nightmare** » 05 Jan 2011, 16:38

Re Ben !

Bon, après avoir cherché et lu les définitions, j'ai l'impression qu'il suffit de dire que les transpositions (i,i+1) engendrent S(n) et vérifient les relations imposées.

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 17:03

Nightmare a écrit:Re Ben !

Bon, après avoir cherché et lu les définitions, j'ai l'impression qu'il suffit de dire que les transpositions (i,i+1) engendrent S(n) et vérifient les relations imposées.

Ce n'est pas tout à fait suffisant : cela montre uniquement qu'il existe un morphisme surjectif du groupe de présentation donnée dans le groupe Sn.
Il reste à montrer l'injectivité du morphisme et c'est pas du tout évident...
(si j'avais mis moins de relations, par exemple en enlevant si²=1, tu continuerais à avoir un morphisme surjectif, mais il ne serait plus injectif)

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 19:13

Salut ! La 1 je connais , pour la 2 , j'ai réfléchit (et je suis sur d'avoir croisé le truc quelque part ... les n-1 transpositions (i,i+1)

font l'affaire je crois :we:

par **Nightmare** » 05 Jan 2011, 19:15

Ben > Hum oui, effectivement... Je vais voir ça de plus près.

Bene > Font l'affaire pour quoi?

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 19:17

benekire2 a écrit:Salut ! La 1 je connais , pour la 2 , j'ai réfléchit (et je suis sur d'avoir croisé le truc quelque part ... les n-1 transpositions (i,i+1) font l'affaire je crois :we:

Oui, mais si tu sait compter sur tes doigts, tu peut voir que les transpositions (12), (13), ... ,(1n) du 1. de l'exo ne sont elles aussi que n-1 !!!

Aprés, la petite difficulté, c'est de montrer que l'on ne peut pas faire avec strictement moins de n-1 transpositions...

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