(a²+b²)/(ab+1)=n²

[Ericovitchi]

Et celle là vous la connaissez ?

Soient a et b deux entiers positifs tels que ab+1 divise a²+b²

Montrer que (a²+b²)/(1+ab) est un carré parfait.

[Timothé Lefebvre]

Et celle là vous la connaissez ?

Yop,

oui je crois

Tu veux la solution tout de suite ?

[Timothé Lefebvre]

Bon, rapidement histoire de pas trop en dire.

On procède par l'absurde sur l'existence d'un tel n.
(a²+b²)/(ab+1)=n revient à b²-(na)b+a²-n=0.

En établissant une relation d'ordre qui liera a et b, en examinant les racines de ce polynôme du second degré (que l'on nommera m et m' par exemple), puis en procédant à une étude de cas, on peut s'en tirer.

[Zweig]

Généralisation : Si , et sont des naturels non nuls tels que , alors est un carré parfait.

Ton exercice étant le cas où

[Anonyme]

Bon, rapidement histoire de pas trop en dire.

On procède par l'absurde sur l'existence d'un tel n.
(a²+b²)/(ab+1)=n revient à b²-(na)b+a²-n=0.

En établissant une relation d'ordre qui liera a et b, en examinant les racines de ce polynôme du second degré (que l'on nommera m et m' par exemple), puis en procédant à une étude de cas, on peut s'en tirer.

Pourrais tu developper ca m'interresse
En plus j'ai pas compris comment ce raisonnement mene au resultat
Merci

[Timothé Lefebvre]

Argh, tu m'obliges à me dévoiler

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=93504

[Ericovitchi]

C'est dingue Tim, tu passes ta vie 24h sur 24 à faire des maths ! Même un truc d'olympiade pourri tu trouves le moyen de l'avoir déjà posté.
Tu veux faire quoi dans la vie à pars des maths ?

[lapras]

C'est quand même pas n'importe quel exo : une fois qu'on a la technique avec le second degré et tout c'est facile mais sinon c'est absolument pas évident.
D'ailleurs je crois que cet exo a été mal réussi aux OIM...

[Timothé Lefebvre]

Tu veux faire quoi dans la vie à pars des maths ?

Euh ... Des math ?
Lol, je ne fais pas que ça non plus ^^ Mais là c'est les vacances et j'ai horreur des vacances parce que je m'ennuie (regarde ce décalage horaire, je suis déjà levé). Et quand je m'ennuie ben je fais des maths
Ne t'en fais pas, je ne vais pas tout poster, je te laisse quand même quelques énoncés ^^

@ lapras : est-ce que tu sais de quelle année date cet exo ?

[lapras]

Nan je me rappelle plus désolé.

[Timothé Lefebvre]

Ok c'est pas très grave.

Tu as une autre méthode de procéder sur cet exo ou non ?
Il ne doit pas y en avoir 36 000.

[Ericovitchi]

Il a été donné aux Olympiades internationales 1988/6

[Timothé Lefebvre]

Eh ben, ça remonte !

Tu l'as résolu comment Erico ? Par le même principe de récurrence ?

[Ericovitchi]

Il y a une autre démonstration assez originale :

Si a=b alors a=b=1 et l'assertion est évidente.
Supposons 11 la suite est strictement croissante, et donc .
Comme n est strictement positif, il résulte de la dernière formule qu'il ne peut exister d'indice i tel que et ; la suite doit donc forcement passer par 0. Si alors pour un certain indice i, on obtient , d'où le résultat.

[Anonyme]

Argh, tu m'obliges à me dévoiler

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=93504

J'avais vu le post mais c'est le raisonnement que j'arrive pas a comprendre

[Timothé Lefebvre]

J'avais vu le post mais c'est le raisonnement que j'arrive pas a comprender

A quel moment ?

PS Erico : jolie démo !

[Anonyme]

Voici ton raisonnement

J'ai donc tels que . Je prends un couple (a,b) tel que max(a,b) ait une valeur minimum. Je suppose donc que et j'ai .

C'est un polynôme de degré 2 tel que , donc j'ai
X -> X²-(ka)X+a²-k avec pour racine réelle b et b'. Je sais que b' est entier (car b+b'=ka). Si j'encadre b' je tombe sur :

1) b'0 alors j'ai encore :

a) si b'<0 j'ai k=(a²+b'²)/(ab'+1)<0 (contradiction)

b) si b'=0 j'ai a²=k (contradiction aussi).

Au final, j'ai un couple (a,b') solution pour 0 < b' < a d'où la fin de mon raisonnement.

Deja au debut quel interet de prendre max(a,b) un minimum ?

[Timothé Lefebvre]

Je me suis mal exprimé.
On choisit (a,b) tel que max(a,b) soit minimum.
Réfléchis : si on prenait un (a;b) tel que max(a,b) soit maximum ?

[Zweig]

Même un truc d'olympiade pourri

Faut pas abuser ... Cet exercice est tiré des Olympiades Internationales de 1988 (par là) et il a fait une hécatombe cette année-là ... Presque personne ne la réussi et la solution donnée par Tim est la solution donnée par un des participants (ce qui lui a valu un prix spécial, au passage), méthode qui porte le nom sur les forums anglophones de "Vieta Jumping" en l'honneur de François Viète, découvreur des relations coefficients-racines utilisées.

Voici d'ailleurs ce qu'Arthur Engel, auteur de Problem Solving Strategies pour les connaisseurs, a écrit sur ce problème :

Nobody of the six members of the Australian problem committee could solve it. Two of the members were Georges Szekeres and his wife, both famous problem solvers and problem creators. Since it was a number theoretic problem it was sent to the four most renowned Australian number theorists. They were asked to work on it for six hours. None of them could solve it in this time. The problem committee submitted it to the jury of the XXIX IMO marked with a double asterisk, which meant a superhard problem, possibly too hard to pose. After a long discussion, the jury finally had the courage to choose it as the last problem of the competition. Eleven students gave perfect solutions.

Alors, en effet, en connaissant cette méthode, l'exercice devient tout de suite plus facile ... encore fallait-il avoir les idées pour l'inventer sur le moment :we:

Pour revenir à la solution de Tim, pour éclairer la lanterne de quelques uns : http://www.georgmohr.dk/tr/tr09taltvieta.pdf

[Zweig]

Ok c'est pas très grave.

Tu as une autre méthode de procéder sur cet exo ou non ?
Il ne doit pas y en avoir 36 000.

Y en a une autre en passant par les coniques.