Salut à tous,
Je vais vous prouver ici que 1 = 2 ! Bien évidemment, il y a une erreur dans mon raisonnement, essayez donc de la retrouver (même si ce n'est pas si dur que ça).
Prenons A = B
En multipliant par A, on obtient A² = AB
En soustrayant par B², on a A² - B² = AB - B²
En factorisant, on se retrouve avec (A+B)(A-B) = B(A-B)
En divisant par A-B on a donc : A + B = B
En prenant au début A = B = 1, on se retrouve à la fin avec 1 + 1 = 1, donc 1 = 2 !
Cherchez l'erreur !
1 = 2 ?
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par Amoureux-des-Maths » 14 Nov 2011, 19:59
Trop facile ! Bouhhh.
Si j'en ai d'autres, je les mets sur ce sujet ou j'en refais un ?
Si j'en ai d'autres, je les mets sur ce sujet ou j'en refais un ?
par TheReveller » 22 Nov 2011, 18:00
Inventé de toutes pièces : 405 = 0
Soit : x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
Multiplions par x :
x * (x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81) = 0
x^5 + 3*x^4 + 9*x^3 + 27*x^2 + 81*x = 0
x^5 = -3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x [1]
Reprenons l'équation initiale :
x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
-x^4 - 3*x^3 - 9*x^2 - 27*x = 81
Multiplions par 3 :
3 * (-x^4 - 3*x^3 - 9*x^2 - 27*x) = 243
-3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x = 243 [2]
Selon [1] et [2], nous avons donc :
x^5 = -3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x = 243
x^5 = 243
x = 3
Substituons la réponse dans l'équation initiale :
x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
3^4 + 3*3^3 + 9*3^2 + 27*3 + 81 = 0
405 = 0
CQFD ?
Soit : x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
Multiplions par x :
x * (x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81) = 0
x^5 + 3*x^4 + 9*x^3 + 27*x^2 + 81*x = 0
x^5 = -3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x [1]
Reprenons l'équation initiale :
x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
-x^4 - 3*x^3 - 9*x^2 - 27*x = 81
Multiplions par 3 :
3 * (-x^4 - 3*x^3 - 9*x^2 - 27*x) = 243
-3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x = 243 [2]
Selon [1] et [2], nous avons donc :
x^5 = -3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x = 243
x^5 = 243
x = 3
Substituons la réponse dans l'équation initiale :
x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
3^4 + 3*3^3 + 9*3^2 + 27*3 + 81 = 0
405 = 0
CQFD ?
par Jota Be » 22 Nov 2011, 20:48
TheReveller a écrit:Inventé de toutes pièces : 405 = 0
Soit : x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
Multiplions par x :
x * (x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81) = 0
x^5 + 3*x^4 + 9*x^3 + 27*x^2 + 81*x = 0
x^5 = -3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x [1]
Reprenons l'équation initiale :
x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
-x^4 - 3*x^3 - 9*x^2 - 27*x = 81
Multiplions par 3 :
3 * (-x^4 - 3*x^3 - 9*x^2 - 27*x) = 243
-3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x = 243 [2]
Selon [1] et [2], nous avons donc :
x^5 = -3*x^4 - 9*x^3 - 27*x^2 - 81*x = 243
x^5 = 243
x = 3
Substituons la réponse dans l'équation initiale :
x^4 + 3*x^3 + 9*x^2 + 27*x + 81 = 0
3^4 + 3*3^3 + 9*3^2 + 27*3 + 81 = 0
405 = 0
CQFD ?
Salut,
Je vais tenter une réponse :
L'équation [1] n'a pas lieu d'être.
CQFVD ? =)
par beagle » 22 Nov 2011, 22:06
ça marche super bien le truc de TheReveller
x^2 + 2x + 4 = 0
fois x,
x^3 + 2x^2 + 4x = 0
x^3 = -2x^2 -4x
fois 2
2x^2 + 4x + 8 = 0
8 = -2x^2 -4x
x^3 = 8
x = 2
donc 4+4+4 = 0
x^2 + 2x + 4 = 0
fois x,
x^3 + 2x^2 + 4x = 0
x^3 = -2x^2 -4x
fois 2
2x^2 + 4x + 8 = 0
8 = -2x^2 -4x
x^3 = 8
x = 2
donc 4+4+4 = 0
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par manoa » 22 Nov 2011, 22:12
Tu pars avec des implications donc le 3 n'est pas forcément inclue dans l'ensemble des solutions.
Il faut vérifier,puisque ça ne donne pas 0 ,3 n'est pas solution.
Il faut vérifier,puisque ça ne donne pas 0 ,3 n'est pas solution.
par Le_chat » 22 Nov 2011, 22:26
beagle a écrit:ça marche super bien le truc de TheReveller
x^2 + 2x + 4 = 0
fois x,
x^3 + 2x^2 + 4x = 0
x^3 = -2x^2 -4x
fois 2
2x^2 + 4x + 8 = 0
8 = -2x^2 -4x
x^3 = 8
Jusque là c'est bon! Le "truc" c'est que l'équation n'admet pas de solution réelle, mais des solutions complexes qui verifient x^3=8 ( ou x^5 = 243 pour l'autre équation.)
On peut arriver encore plus vite à x^3=8 ou x^5=243: Il suffit de diviser par 4 dans l'équation pou se ramener à (x/2)^2+x/2+1=0 et comme c'est une progression géométrique, on trouve (x/2)^3-1=0.
par beagle » 22 Nov 2011, 22:35
Pour moi qui ne connait pas les complexes,
ai-je le droit de dire que :
comme il n'existe pas de x qui vérfie
8 = -2x^2 - 4x
je ne peux pas échanger du qui n'existe pas,
le -2x^2 - 4x
par du qui existe: le 8
dans une autre équation
le x^3= ...
Abstraction faite des complexes, l'erreur, l'interdit est-il là à mon niveau?
ai-je le droit de dire que :
comme il n'existe pas de x qui vérfie
8 = -2x^2 - 4x
je ne peux pas échanger du qui n'existe pas,
le -2x^2 - 4x
par du qui existe: le 8
dans une autre équation
le x^3= ...
Abstraction faite des complexes, l'erreur, l'interdit est-il là à mon niveau?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Skullkid » 23 Nov 2011, 00:02
Non, en fait on a le droit de manipuler des objets qui n'existent pas, ou plus généralement des propositions fausses (c'est le principe des démonstrations par l'absurde). On sait qu'il n'existe pas de réel x tel que 2x² + 4x + 8 = 0, mais ça n'empêche pas de dire "soit un réel x qui vérifie 2x² + 4x + 8 = 0", c'est-à-dire "je suppose que cette équation a une solution". Il se trouve que c'est faux, mais on peut bâtir un raisonnement par l'absurde dessus, qui servira justement à prouver que ce qu'on a supposé au départ est faux.
En fait, beagle, tu as prouvé l'assertion suivante, qui est parfaitement juste : "s'il existe un réel x tel que 2x² + 4x + 8 = 0, alors x^3 = 8 (et donc x = 2)". Tu as montré que s'il y avait une solution réelle, alors cette solution est forcément 2. Or 2 n'est pas solution, donc il n'y a pas de solution réelle.
En fait, beagle, tu as prouvé l'assertion suivante, qui est parfaitement juste : "s'il existe un réel x tel que 2x² + 4x + 8 = 0, alors x^3 = 8 (et donc x = 2)". Tu as montré que s'il y avait une solution réelle, alors cette solution est forcément 2. Or 2 n'est pas solution, donc il n'y a pas de solution réelle.
par beagle » 23 Nov 2011, 08:44
Skullkid a écrit:Non, en fait on a le droit de manipuler des objets qui n'existent pas, ou plus généralement des propositions fausses (c'est le principe des démonstrations par l'absurde). On sait qu'il n'existe pas de réel x tel que 2x² + 4x + 8 = 0, mais ça n'empêche pas de dire "soit un réel x qui vérifie 2x² + 4x + 8 = 0", c'est-à-dire "je suppose que cette équation a une solution". Il se trouve que c'est faux, mais on peut bâtir un raisonnement par l'absurde dessus, qui servira justement à prouver que ce qu'on a supposé au départ est faux.
En fait, beagle, tu as prouvé l'assertion suivante, qui est parfaitement juste : "s'il existe un réel x tel que 2x² + 4x + 8 = 0, alors x^3 = 8 (et donc x = 2)". Tu as montré que s'il y avait une solution réelle, alors cette solution est forcément 2. Or 2 n'est pas solution, donc il n'y a pas de solution réelle.
OK merci Skullkid, en fait j'ai compris dans la nuit avec le message de manoa qui parlait d'implication .
Pour paraphraser ce que tu viens de dire Skullkid, puis-je dire ceci:
Habituellement, pour ax+b ou pour second degré avec deux solutions grace au discriminant,
habituellement donc , on travaille en équivalence,
donc une fois arrivé à x=2 pour premier degré, ou arrivé à x=1 ou x=1/2 pour second degré,
je n'ai pas mathématiquement parlant à vérifier que ces x là sont solutions (sauf pour moi , pour vérifier une absence de calcul)
Alors que dans le cas présent, je fonctionne ainsi:
si il existe x vérifiant ... alors x est 2,
mais comme: x=2 alors je n'ai pas x vérifie ...
cela veut dire qu'il n' y a pas de solutions.
Le passage où je perds l'équivalence n'est-il pas le moment qui me choquait hier,
ce moment où j'échange l'expression en x pour le 8?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Skullkid » 23 Nov 2011, 16:06
beagle a écrit:Le passage où je perds l'équivalence n'est-il pas le moment qui me choquait hier,
ce moment où j'échange l'expression en x pour le 8?
C'est un peu plus tricky. Si je réécris ton raisonnement, ça donne :
Et c'est tout à fait correct, ce sont bien des équivalences (tu as en fait montré que "x est solution" équivaut à "x est solution et x^3 = 8"). Là où les problèmes surviennent c'est quand tu dis que x^3 = 8 est équivalent à x=2. En vrai, c'est "x est réel ET x^3 = 8" qui équivaut à x = 2. x^3 = 8 est une conséquence de x=2, mais ça n'implique pas x=2 si aucune précision n'est apportée sur x (c'est là où tu perds l'équivalence). Donc au final tu as :
La partie importante de cette équivalence c'est l'implication directe (gauche vers droite) puisque l'implication réciproque c'est "faux implique ...", qui est toujours vraie.
par beagle » 23 Nov 2011, 16:34
C'est très intéressant,
c'est de la belle écriture pour laquelle je n'ai pas d'expérience,
mais pour une fois que le bien écrit j'arrive à suivre :we:
Donc l'idée est de garder les deux expressions en mème temps tout le long.
Je ne suis pas d'accord sur le fait que 8 et 2^3 soit un moment de perte de l'équivalence,
c'est juste qu'il faut préciser dans quoi on travaille.
Non, la perte d'équivalence vient lorsqu'on (je) lache une des deux expressions,
cad lorsqu'on remplace comme déjà dit l'expression en x par du 8,
alors qu'en mème temps on n'écrirait plus la deuxième équation (celle de base).
Je relis tout ça, merci Skullkid
c'est de la belle écriture pour laquelle je n'ai pas d'expérience,
mais pour une fois que le bien écrit j'arrive à suivre :we:
Donc l'idée est de garder les deux expressions en mème temps tout le long.
Je ne suis pas d'accord sur le fait que 8 et 2^3 soit un moment de perte de l'équivalence,
c'est juste qu'il faut préciser dans quoi on travaille.
Non, la perte d'équivalence vient lorsqu'on (je) lache une des deux expressions,
cad lorsqu'on remplace comme déjà dit l'expression en x par du 8,
alors qu'en mème temps on n'écrirait plus la deuxième équation (celle de base).
Je relis tout ça, merci Skullkid
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Skullkid » 23 Nov 2011, 16:41
beagle a écrit:la perte d'équivalence vient lorsqu'on (je) lache une des deux expressions,
cad lorsqu'on remplace comme déjà dit l'expression en x par du 8,
alors qu'en mème temps on n'écrirait plus la deuxième équation (celle de base).
Oui c'est aussi une façon de voir les choses. Dans ce cas tu gardes bien une implication seulement (puisque "A et B" implique A). Note qu'à partir du moment où tu es parvenu à Faux, tu peux t'en servir pour arriver à n'importe quoi. Par exemple il est vrai que tous les réels solutions de l'équation ont un carré égal à -1 (mais ce n'est évidemment pas vrai pour les complexes solution, qui en revanche sont bien des racines cubiques de 8).
par TheReveller » 23 Nov 2011, 19:04
J'ai mis cet exemple basé sur l'équation de base x^2 + x + 1 = 0 avec la pseudo-démonstration où x = 1 donc 3 = 0 parce que je trouve ça assez spécial de faire une démarche mathématique toute bonne pour en arriver à une réponse fausse.
Je me dis que peut-être on pourrait même trouver une équation d'inégalité ayant une infinité de solution où l'on ne peut pas tester toutes les solutions une à une, mais que pourtant l'ensemble de solutions défini n'est pas bon ou certaines solutions sont fausses.
beagle, si jamais tu veux connaître une petite base des nombres complexes, la notion est très simple en fait :
On a défini le nombre imaginaire
tel que 
Donc, on peut calculer la racine carrée de nombre négatifs, par exemple :
Par contre, un nombre complexe a en fait deux dimensions : une partie réelle et une partie imaginaire. Je vais parler ici de sa représentation cartésienne, mais il existe aussi une représentation polaire.
Où
est la partie réelle et 
est la partie imaginaire.
Dans cette équation :
, on arrivait à 
Donc
Puisque :
^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)
^3 = (-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2(\frac{\sqrt{3}}{2}i) + 3(-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3)
^3 = -\frac{1}{8} + 3(\frac{1}{4})(\frac{\sqrt{3}}{2}i) + 3(-\frac{1}{2})(\frac{3}{4}i^2) + \frac{3\sqrt{3}}{8}i^3)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i - \frac{9}{8}i^2 + \frac{3\sqrt{3}}{8}i^2i)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i - \frac{9}{8}(-1) + \frac{3\sqrt{3}}{8}(-1)i)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i + \frac{9}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}i)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{9}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i - \frac{3\sqrt{3}}{8}i)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{9}{8})
^3 = \frac{8}{8} = 1)
et son conjugué
^3 = (-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2(-\frac{\sqrt{3}}{2}i) + 3(-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3)
^3 = -\frac{1}{8} + 3(\frac{1}{4})(-\frac{\sqrt{3}}{2}i) + 3(\frac{1}{2})(\frac{3}{4}i^2) - \frac{3\sqrt{3}}{8}i^3)
^3 = -\frac{1}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}i - \frac{9}{8}i^2 - \frac{3\sqrt{3}}{8}i^2i)
^3 = -\frac{1}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}i - \frac{9}{8}(-1) - \frac{3\sqrt{3}}{8}(-1)i)
^3 = -\frac{1}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}i + \frac{9}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{9}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i - \frac{3\sqrt{3}}{8}i)
^3 = -\frac{1}{8} + \frac{9}{8})
^3 = \frac{8}{8} = 1)
Ah, et puisqu'il est toujours bien de vérifier l'équation initiale :
N.B.:^2 = a^2 + 2ab + b^2)
^2 + (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = 0)
^2 + 2(-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}i) + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2] + (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = 0)
 + 1 = 0)
 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1 = 0)
et son conjugué
^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = 0)
^2 + 2(-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}i) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2] + (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = 0)
 + 1 = 0)
 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1 = 0)
Désolé, je ne suis pas très habile avec le TEX.
P.S.: Ça m'amusait de faire tout ça.
Je me dis que peut-être on pourrait même trouver une équation d'inégalité ayant une infinité de solution où l'on ne peut pas tester toutes les solutions une à une, mais que pourtant l'ensemble de solutions défini n'est pas bon ou certaines solutions sont fausses.
beagle, si jamais tu veux connaître une petite base des nombres complexes, la notion est très simple en fait :
On a défini le nombre imaginaire
Donc, on peut calculer la racine carrée de nombre négatifs, par exemple :
Par contre, un nombre complexe a en fait deux dimensions : une partie réelle et une partie imaginaire. Je vais parler ici de sa représentation cartésienne, mais il existe aussi une représentation polaire.
Où
Dans cette équation :
Donc
Puisque :
et son conjugué
Ah, et puisqu'il est toujours bien de vérifier l'équation initiale :
N.B.:
et son conjugué
Désolé, je ne suis pas très habile avec le TEX.
P.S.: Ça m'amusait de faire tout ça.
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