R+4

[Imod]

Un curieux petit exercice :hein:

Le plan P est muni d'un repère orthonormé d'origine O . On considère un ensemble C de P , convexe , symétrique par rapport à O et d'aire supérieure à 4 . Montrer que C contient au moins 3 points à coordonnées entières .

Imod

[windows7]

salut,

ta preuve utilise t'elle le fait ton convexe fermée est homeomorphe à un des 4( dim IR^2+2 ) "modeles simples" de IR^2

?

[Ben314]

salut,

ta preuve utilise t'elle le fait ton convexe fermée est homeomorphe à un des 4( dim IR^2+2 ) "modeles simples" de IR^2

?

Qu'appelle tu les "modèles simples" de R² ?
De plus, je doute que l'on puisse évaluer le "nombre de points entiers" à... homéomorphisme prés...

Bon, sinon, ça fait un moment que je sèche...
J'avais cru trouver un truc utilisant l'idée des surfaces quarrables pour déduire des choses du fait que l'aire est >4, mais je n'arrive pas à conclure : il me faudrait une majoration de card(n.C inter Z²) à l'aide de card(C inter Z²) {où n.C désigne l'image de C par l'homothétie de centre O de rapport n}...

[Doraki]

J'ai si l'aire est > 4.
Si l'aire vaut 4, un carré ouvert de coté 2 centré sur O ne contient que O comme point à coordonnées entières.

[Ben314]

J'ai si l'aire est > 4.
Si l'aire vaut 4, un carré ouvert de coté 2 centré sur O ne contient que O comme point à coordonnées entières.

Je suis assez sec...
Tu donne ta soluce ou tu attend ?

[Doraki]

Maintenant que je connais la couleur pour faire du blanc :

On projette le convexe symétrique modulo 2Z*2Z dans le carré [-1;1[ * [-1;1[ autour de O.
C'est une opération qui conserve l'aire et, si le convexe ne contient que O comme point à coordonnées entières, qui est injective :
Si x = y mod 2, alors (x-y)/2 est dans le convexe symétrique, est un point à coordonnées entières, et donc est O, et donc x=y.

[Ben314]

:king2: Nickel... :king2:
Et trés joli (comme à peu prés tout les problèmes de Imod...)

[Imod]

Le problème n'est pas de moi :Wiki

Imod