Test pour les IMO

par **poiuytreza** » 29 Nov 2009, 19:51

Bonjour,
Si quelqu'un est intéressé par des exercices de type IMO, voici les exercices du premier test de sélection français :

Exercice 1 : Trouver tous les couples

d'entiers naturels tels que :

Exercice 2 : Soit ABC un triangle isocèle en A avec ses 3 angles aigus, O le centre du cercle circonscrit et H son orthocentre. Montrer que le centre du cercle circonscrit à BOH est sur la droite (AB)

Exercice 3 : Soient x, y et z des réels tels que

. Trouver le minimum de :

Exercice 4 : Sur une droite, on colorie 4n points en bleu et 2n points en vert. Montrer qu'il existe sur cette droite un segment contenant exactement 2n points bleus et n points verts.

Exercice 5 : ABC est un triangle, I le centre de son cercle inscrit et P le pied de la bissectrice de l'angle en B. On suppose que AP + AB = BC. Montrer que API est isocèle.

Exercice 6 : Soient p et q deux nombres premiers. On pose

,

et

On suppose qu'il existe k tel que

. Trouver toutes les valeurs possibles de p et q.

Je précise que les exercices étaient classés par ordre de difficulté chaque jour, donc les 3 et 6 sont plus durs que les 2 et 5, qui sont plus durs que les 1 et 4.

Bon courage à tous les intéressés ! :lol4:

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 15:28

Je suis tres interesse par ces exo mais malheureusement je ne suis pas encore entraine aux OIM donc je sais pas trop comment aborder ces exo meme pour l'exercise 1 qui est le plus facile. Je pense qu'il faut proceder par des inegalites et encadrements dans le 1 apres avoir elever les deux membres au carre. Ai je vu juste ? Sinon comment proceder ?

Merci

par **poiuytreza** » 30 Nov 2009, 17:40

Il faut bien sûr élever au carré, mais tu es obligé de garder au moins une racine, et racine de ab n'est pas le plus pratique, donc il y a un petit quelque chose à faire avant...

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 17:58

En fait au debut j'ai plutot prefere de garder

car j'avais vu quelques inegalite incluant

donc je pensais pouvoir profiter mais en vain (j'ai essayer)

J'ai penser a poser

et

mais je ne suis pas arriver aussi. (en faisant cela on aura plus de racines , mais j'ai pas su continuer)

un petit indice ?

par **poiuytreza** » 30 Nov 2009, 18:06

Pas besoin d'inégalités, mais racine de (2009b) est "plus simple à utiliser" que racine de (ab)

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 18:19

il est plus interessant de mettre sous forme

pour pouvoir trouver les valeur de b pour lesquel 2009b est un carre parfait ?

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 18:19

A la limite, un "indice" qui peut être utile dans le cas de racines d'entiers c'est le résultat général suivant (pas trés difficile à démontrer) :
"Si n est un entier naturel alors

est soit un entier, soit ce n'est pas un quotient"

En clair, cela signifie que, lorsque l'on a

avec a,b,n entiers (naturel pour n, relatifs pour a et b) alors, soit n est un carré parfait (et donc

est un entier), soit a=b=0.

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 18:25

Ben314 a écrit:"Si n est un entier naturel alors est soit un entier, soit ce n'est pas un quotient"

Pourrais tu le demontrer ? ainsi que la propriete qui en decoule

Au fait je ne sais pas si cela m'avance mais j'ai trouve que b s'ecrit sous la forme

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 18:36

J'ai trouver aussi que les valeur possible pour k sont 0 , 1 ,2 ,3
apres avoir essayer seul 0 est adequat donc a=2009 et b=0 ?

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 18:41

O.K. :
Soit n un entier naturel.
On suppose que

est un quotient, c'est à dire que

.
On peut évidement supposer que la fraction

est sous forme irréductible, c'est à dire que

et

n'ont pas de diviseurs communs.
On a donc

c'est à dire

.
(arrivé ici, il y a plusieurs "fin" possible selon le niveau, je le fait à ce qui me semble le "plus simple")
Si

était différent de 1, on pourrait le décomposer en nombre premiers et, en particulier considérer un nombre premier

de sa décomposition.
Ce nombre premier apparait évidement (et même au carré) dans la décomposition de

donc dans celle de

et cela contredit l'hypothèse faite sur

et

(sans diviseurs communs)
On en déduit que

et donc que

est en fait un entier.

Résumé : si

est un quotient alors c'est un entier.

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 18:45

Pour l'application, c'est immédiat :
Supposons que

. Deux cas se présentent :
Si

alors

est un quotient donc un entier (c.f. théorème) ce qui signifie que n est "un carré parfait".
Si

alors

.

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 18:57

Merci beaucoup
La demo est simple c'est vrai mais utile
Est ce que ma reponse est correcte ?

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 19:07

Qmath a écrit:Au fait je ne sais pas si cela m'avance mais j'ai trouve que b s'ecrit sous la forme

Ca c'est juste (et je me demande comment tu as fait sans utiliser le "théorème" : je pense que tu as du refaire une partie de la démonstration...)

Par contre a=0, b=2009 n'est pas l'unique solution.
2009=7*7*41 donc

et on peut écrire :

.
.
.
Et ce sont les seules solutions

P.S. Connait tu le "théorème de Gauss" ?
Si oui, tu peut beaucoup simplifier la fin de ma preuve.

par **Anonyme** » 30 Nov 2009, 19:54

Ben314 a écrit:Ca c'est juste (et je me demande comment tu as fait sans utiliser le "théorème" : je pense que tu as du refaire une partie de la démonstration...)

Par contre a=0, b=2009 n'est pas l'unique solution.
2009=7*7*41 donc et on peut écrire :

.
.
.
Et ce sont les seules solutions

P.S. Connait tu le "théorème de Gauss" ?
Si oui, tu peut beaucoup simplifier la fin de ma preuve.

non je ne connais pas le theoreme de Gauss...
Merci pour la solution
Je voulais demandais s'il l'on pouvait directement affirmer que puisque

=

alors

et

peuvent etre ecrit sous la forme

est ce que le fait que

=

permet d'ecrire cela ?

Si oui est ce que ce theoreme a un nom ?

par **poiuytreza** » 30 Nov 2009, 20:06

Ce n'est pas un théorème, mais une conséquence du théorème de Gauss :
Après avoir passé b à droite et élevé au carré, tu trouves :

Donc

est entier, donc 2009b est un carré, d'après le lemme présenté par ben314.
Si

, alors 41 divise

, donc d'après le théorème de Gauss, 41 divise k, donc

divise

, donc

divise 2009b, donc 41 divise b et, par le même raisonnement, 41 divise a.

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 20:11

Je ne connais pas de nom pour ce théorème.... mais ca ne prouve pas qu'il n'en a pas :zen:

Je pense que l'on ne peut pas affirmer "directement" (i.e. sans preuve) ce que tu dit.

Pour montrer que

et

peuvent etre ecrit sous la forme

,

tu part de

, tu retranche

(ou

) des deux cotés, tu élève au carré et tu tombe sur une équation du type

avec x,y entiers et c'est là que le thérème est utile pour pouvoir déduire (si x ou y est non nul) que

est un carré parfait, et donc que

(car 41 ne contient aucun facteur carré !)

par **lapras** » 30 Nov 2009, 21:08

Salut Thomas, alors ca se passe bien les tests ?

par **poiuytreza** » 30 Nov 2009, 21:11

Damned, je suis démasqué !!! :we:
Ben le test là très bien j'ai tout fait sauf le 3 (j'ai trouvé le 6 sur un coup de bol à 15 minutes de la fin)
Sinon, le forum d'Animath étant toujours aussi mort, j'ai pas beaucoup de nouvelles des autres.
Et toi la Sup ça va ?

par **lapras** » 30 Nov 2009, 21:14

Oué la Sup c'est sympa, mais j'ai plus trop de temps pour m'amuser sur les olympiades, dommage...
Profites en ! (et bravo pour le test^^)
PS : merci de relancer le forum olympiade, un peu mort depuis quelques temps...

par **poiuytreza** » 01 Déc 2009, 21:03

Essaie un peu de ranimer le forum d'Animath et tu verras ce que c'est qu'un vrai forum mort :we:

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