Superabondant

[yos]

Bonjour.

Les entiers superabondants sont les entiers n>0 tels que
pour ,
où est la somme des diviseurs (positifs) de n.

Il faut prouver qu'il y a une infinité de tels nombres.

J'en ai vu une preuve à la Euler, pas très simple, alors qu'il me semble que c'est évident. Qu'en dites vous?

[Ben314]

Il y a un petit truc qui m'échappe :
Sauf erreur, si la décomposition de n en nombres premiers est alors donc car, pour tout et premier
Donc le seul entier superabondant est.... 1 !

P.S. : Je vient de chercher sous google : c'est juste une faute de frappe : il faut lire "où est la somme des diviseurs (positifs) de n."
C'est à dire

[Ben314]

Effectivement, il me semble que, si alors
donc n'a pas de plus grand élément donc qu'il existe une infinité de superabondants....

[yos]

Ach! je corrige.

[yos]

Ben314 a écrit: cela montre que la suite [TEX]\left({\sigma(n)\over n}\right)"/> n'a pas de plus grand élément donc qu'il existe une infinité de superabondants....

Ce "donc" mérite un petit développement, mais c'est aussi mon avis.

[yos]

est peut-être bien vraie tout le temps (j'ai pas vérifié), mais pour k premier avec n, c'est évident car la fonction est multiplicative. Cela évite un calcul explicite de .

[Ben314]

Tu as tout a fait raison.
Mais, à rédiger "super proprement" je sais pas si c'est beaucoup plus long de donner la valeur explicite de par rapport à démontrer qu'elle est multiplicative...

Et, effectivement, je pense qu'il faut la formule explicite pour montrer que k n'a pas besoin d'être premier avec n pour avoir l'inégalité.

[ffpower]

Effectivement,ca revient juste a montrer que n atteint pas de max, c'est pas bien dur^^. Et ils sont censés servir à quoi ces entiers superabondants?

[Ben314]

PASQUENPLUS faudrait que ça serve à QUEKCHOSE !!!!!

Le seul truc qui me dit quelque chose c'est la séparation des entiers en 3 catégories : déficients (là je suis pas sûr), parfait et abondant selon que est que 2n.
Si je me rapelle bien, il y a alors une conjecture sur les parfaits impairs (en existe t'il ?)

[yos]

Et ils sont censés servir à quoi ces entiers superabondants?

A faire un exercice.

Et c'est quoi la limsup de ??

[ffpower]

si p est premier,, donc si , . Ce produit diverge, donc la limsup vaut l infini..Et la continuité directe de cette question: sont ils dense dans ?

[Ben314]

Je suis a peu prés sur que oui :
Pour L>1 fixé (le réel que l'on veut approcher)
tu construit des entiers
n_k=p_1p_2...p_k
en prenant pour p_{k+1} le plus petit nombre premier tel que
sigma(p_1..p_(k+1)) / (p_1..p_(k+1)) ne dépasse pas L.
et je pense que tu conclue en utilisant la d.v. du produit des (1+1/p)

P.S. il y a justement ne faute de frappe dans ton dernier post sur sigma(n)/n=...