je vous propose un petit exo sympa, jamais proposé sur le forum je crois ( ? )
Soit P l'ensemble des nombres premiers tq si p est dans P alors p+2 est dans P egalement.
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Rarefaction
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rarefaction
par windows7 » 02 Sep 2010, 11:22
salut
je vous propose un petit exo sympa, jamais proposé sur le forum je crois ( ? )
Soit P l'ensemble des nombres premiers tq si p est dans P alors p+2 est dans P egalement.
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est convergente
je vous propose un petit exo sympa, jamais proposé sur le forum je crois ( ? )
Soit P l'ensemble des nombres premiers tq si p est dans P alors p+2 est dans P egalement.
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par ffpower » 02 Sep 2010, 11:54
elle est bizarre ta definition de P. De ce que je comprend, c'est un sous ensemble de P stable par p->p+2, et ca a pas l'air possible ca..
par Alpha » 02 Sep 2010, 12:58
Tu veux plutôt dire "l'ensemble des p premiers tels que p+2 soit aussi premier" non?
par Ericovitchi » 02 Sep 2010, 13:26
Ce qui est sûr c'est que P existe. Par exemple 3,5,11,17, ... ,101,107, ....,100517,100547,100799,.... sont dedans. Il parait qu'on les appelle des nombres premiers jumeaux.
Il parait que le couple le plus grand connu (en 2002) est :
& idem 1. Impressionnant.
Il parait aussi qu'on pense que les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini, mais cela n'est pas démontré.
Alors il parait aussi que la somme des inverses des nombres premiers jumeaux converge vers 1,902 160 583 104, valeur dite somme de Brun.
Cela dit, les démonstrations que l'on peut trouver ont l'air compliquées.
Il parait que le couple le plus grand connu (en 2002) est :
Il parait aussi qu'on pense que les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini, mais cela n'est pas démontré.
Alors il parait aussi que la somme des inverses des nombres premiers jumeaux converge vers 1,902 160 583 104, valeur dite somme de Brun.
Cela dit, les démonstrations que l'on peut trouver ont l'air compliquées.
par windows7 » 02 Sep 2010, 13:59
Alpha a écrit:Tu veux plutôt dire "l'ensemble des p premiers tels que p+2 soit aussi premier" non?
ouai jme suis mal exprimé
par ffpower » 02 Sep 2010, 14:15
ah ok, donc ça montre que les nombres premiers jumeaux sont assez rare ( d ou le titre XD) j'en avais déjà entendu parler. Et c'est niveau olympiade ce truc? J'aurais pensé que c'était un résultat avancé de théorie des nombres qui utilise de l'analyse complexe et compagnie. Je vois pas trop comment partir en tout cas^^
par nodjim » 02 Sep 2010, 17:44
Un petit mémo que j'avais fait à ce sujet il y a quelque temps.
Les nombres premiers jumeaux
Période des nombres divisibles par les k premiers nombres premiers
2:0 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010
3:0 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120
5:0 123401 234012 340123 401234 012340 123401 234012 340123 401234 012340 123401 234012 340123 401234 012340
7:0 123456 012345 601234 560123 456012 345601 234560 123456 012345 601234 560123 456012 345601 234560 123456
Dans le tableau ci-dessus, on a représenté les entiers naturels successifs en modulo 2, 3, 5 et 7.
Les zéros communs à 2 et 3 reviennent tous les 2*3=6 nombres.
Ceux communs à 2,3 et 5 tous les 30 nombres (2*3*5).
Ceux communs à 2,3,5 et 7 tous les 210 nombres (2*3*5*7).
Chaque nombre est défini de manière unique par 4 chiffres, chacun étant sa valeur modulo 2, puis 3, puis 5, puis 7.
Par exemple 13 se lit (1,1,3,6) sous entendu (1+2k, 1+3k', 3+5k'', 6+7k''')
Le (0,0,0,0) de la première colonne ne peut être répété que si le (0,0,0,0) suivant est multiple, en même temps, de 2,3,5 et 7.
Comme ces nombres sont premiers, le multiple commun est leur produit=210.
De même tout nombre de ce tableau à la colonne quelconque C sera répété identique à la colonne C+210.
En effet soit le nombre (a,b,c,d) représenté par une colonne du tableau.
Pour retrouver a, il faudra un écart multiple de 2.
Pour retrouver b, il faudra un écart multiple de 3.
Pour retrouver c, il faudra un écart multiple de 5.
Pour retrouver d, il faudra un écart multiple de 7.
Pour retrouver (a,b,c,d) il faudra un écart multiple à la fois de 2,3,5 et 7, soit 210 pour le PPCM.
Comme le nombre de nombres (a,b,c,d) est de 210 (2 pour a, 3 pour b, 5 pour c, 7 pour d), et que la séquence est 210, tous les nombres sont présents.
Une fois cette séquence écrite, pas la peine de l'écrire à l'infini pour les autres entiers, cette séquence se répète d'elle même.
Ecrivons maintenant la suite des écarts entre les entiers naturels.
111111111111111111111111111111.........
Supprimons les multiples de 2:
111222222222222.....
Supprimons aussi les multiples de 3
11122424242424242424242......
Supprimons aussi les multiples de 5
1112(5)2424(17)24(23)6(29)264242(49)4626 42424626 42424626 42424626....les nombres entre parenthèses sont les entiers,et non
les écarts, ils servent de repère.
Evidemment le caractère séquentiel se retrouve aussi dans cette écriture, puisque c'est une autre forme du 1er tableau .
Combien d'écarts dans cette suite ?
Si on veut supprimer les multiples de 7, il suffit d'abord d'ecrire 7 fois la suite (7) 42424626 (37) pour arriver à 210 + 7.
Ensuite on ôte les multiples de 7. Combien y en a t il ?
Dans la séquence des 210 nombres du tableau du début, il faut juste identifier les (a,b,c) qui n'ont aucun zéro, car ce sont les nombres
qui ne sont pas multiples de 2,3 ou 5. Il y en a 1 pour a, 2 pour 3 et 4 pour 5, donc 1*2*4=8.
C'est bien la suite des 8 écarts 42424626, dont l'écart total est de 30.
Comme on a dit plus haut que dans la suite des 210 nombres, chacun était représenté une fois sous la forme (a,b,c,d), les zéros de la ligne
du 7 sont présents à chaque (a,b,c) et notamment les 8 (a,b,c) sans zéro. Donc il y a 8 nombres (a,b,c,0) avec a,b,c différents de zéro.
Ce sont ces nombres qui sont éliminés par les multiples de 7.
Ecrivons cette suite:
(7) 42424626(37) 42424626(67) 42424626(97) 42424626(127) 42424626(157) 42424626(187) 4242 46 2 6 (217) devient après suppression des multiples de 7:
(11) 2424626 424 6626 42 646 8 42424 86 4 624626 6424626 4242.10.2.10.(221)
Bien entendu, le (7) ne peut pas faire partie de la séquence, on est obligé de décaler d'un pas, la séquence démarre à 11 (présentation pratique)
On remarque que chacun des 8 nombres (ou écarts) de 42424626 est éliminé. Evidemment, chacun représente 1 des 8 nombres (a,b,c) modulo (2,3,5)
dont aucun n'est nul.
Comme 2 nombres jumeaux du même groupe ne peuvent être éliminés en même temps, car trop proches, les écarts 2 sont éliminés 2 fois.
Explication
Soit cette séquence 4242626, il y a des nombres entre les écarts.
Numérotons les: 4(1)2(2)4(3)2(4)6(5)2(7)6(8) Chacun de ces nombres sera éliminé une seule fois par un multiple de 7.
On ne peut pas éliminer (1) et (2) de la même séquence, ils sont trop proches pour 2 multiples de 7 consécutifs.
En éliminant le (1) dans cette séquence, on élimine un écart 2. la séquence devient 6(2)4(3)2(4)6(5)2(7)6(8).
En éliminant le (2) dans l'une des 6 autres séquences, on élimine à nouveau un écart 2. la séquence devient 4(1)6(3)2(4)6(5)2(7)6(8).
On peut maintenant résumer.
Les nombres non divisibles par les k premiers nombres premiers (appelés par commodité presque premiers) p1,p2,..pk sont présents dans la suite des entiers naturels selon une séquence
de longueur Spk= p1*p2*..pk.
La quantité de ces nombres presque premiers dans la séquence est exactement de Npp=(p1-1)*(p2-2)*....(pk-1).
La quantité des couples de nombres jumeaux presque premiers dans la même séquence (écart 2) est exactement de Npj=(p3-2)(p4-2)...(pk-2).
On appelle Longueur Lpj l'écart moyen entre 2 couples de presque premiers jumeaux.
Elle se calcule en faisant le rapport Lpj=Spk/Npj.
Supposons maintenant qu'on ait défini la suite Spk pour le nombre premier pk.
On passe de pk à p(k+1) en multipliant pk par p(k+1)/pk.
Quand on va définir la suite Sp(k+1) la longueur Lpj(k+1) va devenir Lpj(k+1)=Lpjk*p(k+1)/(p(k+1)-2)
Sauf quand pk et p(k+1) sont jumeaux, le rapport entre les 2 nombres premiers successifs du rang k au rang k+1 est plus grand que celui qui fait passer
la longueur Lpj du rang k au rang k+1. Le rapport pk/Lpj est croissant.
Or, le premier nombre de la séquence Spk éliminé par un multiple de p(k+1), quand on fabrique la séquence Sp(k+1), est p(k+1)².
Et tous les couples de nombres presque premiers entre p(k+1) et p(k+1)² sont vraiment premiers. Et parmi eux forcément les nb premiers jumeaux.
Si, entre p(k+1) et son carré, on arrive à prouver qu'il y a une moyenne égale ou supérieure à la moyenne des "presque premiers jumeaux" de la séquence
Sp(k+1), on aura alors prouvé qu'il existe toujours des nombres premiers jumeaux entre un nombre premier et son carré.
Comment se fabrique une séquence Sp(k+1) ?
On dispose de la séquence Sp(k), on la duplique p(k+1) fois. On va donc trouver successivement les séquences S1, S2, S3, jusqu'à p(k+1).
Les nombres de la séquence S2 sont trouvés en additionnant ceux de S1 par la longueur de la séquence.
Les nombres de la séquence S3 sont trouvés en additionnant ceux de S2 par la longueur de la séquence.
etc.
On prend ensuite tous les nb premiers de la séquence S1, dont le premier est p(k+1), et on les multiplie tous par p(k+1). Ces multiples de
p(k+1) vont supprimer dans les différentes séquences S1, S2, S3,...des nombres déclarés presque premiers jusqu'alors.
Le premier nombre supprimé est p(k+1)². On peut calculer la distance moyenne entre ce p(k+1)² avec le 2ème nombre éliminé.
C'est p(k+1) fois la distance moyenne entre 2 "presque premiers" dans la séquence Spk.
Cette distance ou longueur moyenne est définie par le rapport Lpk=Spk/Npp, ou encore p1/(p1-1)*p2/(p2-1)....*pk/(pk-1).
Cette longueur moyenne est nettement inférieure à p(k+1).
Quelques chiffres
Nb premier écart moy. entre 2 "presque premiers"
2 2
3 3
5 15/4
7 4,4
11 4.8
13 5.2
17 5.5
19 5.8
etc
Plus p grandit, plus cette différence sera marquée.
Donc il y a une forte distance entre le premier nombre de la séquence: p(k+1) et le premier nombre éliminé qui est p(k+1)², et ensuite les nombres éliminés
suivants sont en moyenne bien plus rapprochés.
Donc la séquence S1 a forcément plus de nombres premiers dans le début de la séquence (avant p(k+1)²) qu'après. Les autres séquences S2, S3,..
seront statistiquement équilibrées.
Et donc le début de la séquence S1, entre p(k+1) et son carré, a aussi statistiquement plus de premiers jumeaux que la moyenne.
Au final, quand on aura complétement construit la séquence Sp(k+1), du fait de la construction par duplication des séquences élémentaires Spk
on aboutit à un certain équilibre dans la répartition des presque premiers, sauf que le début de séquence est légèrement plus pourvu en nombres
premiers, et réellement premiers cette fois.
Donnons quelques chiffres pour illustrer cette tendance.
Pour le nombre 59, entre 59 et son carré, on recense 84 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 83.9
Pour le nombre 71, entre 71 et son carré, on recense 118 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 110
Pour le nombre 79, entre 79 et son carré, on recense 137 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 129.5
Pour le nombre 83, entre 83 et son carré, on recense 151 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 139
Pour le nombre 89, entre 89 et son carré, on recense 165 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 156.
On remarque que le nombre réel de premiers jumeaux semble supérieur au nombre théorique. C'est normal, puisque lorsqu'on applique un filtre
par un nombre premier pk, le premier nombre éliminé est pk², donc l'espace entre pk et pk² est de longueur théorique Lp(k-1)j.
CONCLUSION
Le mode de construction des séquences des "presque premiers" met en évidence, par le système de duplication des séquences successives, une
certaine répartition uniforme de ces presque premiers. Avec, statistiquement, une densité plus forte au début de chaque séquence. Justement là
où se trouvent les vrais nombres premiers.
Comme on a vu qu'entre un nombre premier et son carré, la quantité théorique de nombres presque premiers jumeaux augmente lorsque le nombre premier augmente,
et que de plus le nombre réel de premiers jumeaux est plus fort que cette moyenne, on a là une preuve (statistique et heuristique) que les nombres premiers
jumeaux sont en nombre illimité.
SECOND VOLET
Recherche de la plus grande longueur possible entre 2 paires de nombres premiers jumeaux.
Soit la suite S6 des 6k entiers, k entier de 1 à l'infini.
Tous les nombres premiers jumeaux sont dénombrables dans cette suite, puisqu'ils sont de la forme (6k-1, 6k+1).
Tentons d'éliminer les multiple de 5.
les multiples successifs de 5 modulo 6 sont 5(5) 4(10) 3(15) 2(20) 1(25) 0(30) et à nouveau 5,4,3...
On peut aussi écrire cete suite sous la forme -1 -2 3 2 1 0. Ce sont les valeurs 1 et -1 qui éliminent les nombres premiers jumeaux.
La séquence s'étend sur une longueur de 6*5=30 nombres. On élimine les éléments de 6 à partir de 5² (+1) puis 35(-1) puis 55(+1)...
La période d'élimination dans la suite S6 est de 5.
S6: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
Après élimination des multiples de 5, en remplaçant les valeurs éliminées par 0:
S6: 1,2,3,0,5,0,7,8,0,10,0,12,13,0,15,0,17,18,0,20,0,22,23,0,25,0,27,28,0,30,0,..
L'exemple pour 5 est vrai pour tous les autres nombres premiers. Dans la suite S6, seront éliminés les multiples de p selon une séquence
de longueur p. Dans cette séquence, 2 nombres seront éliminés.
Les nombres premiers jumeaux
Période des nombres divisibles par les k premiers nombres premiers
2:0 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010 101010
3:0 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120 120120
5:0 123401 234012 340123 401234 012340 123401 234012 340123 401234 012340 123401 234012 340123 401234 012340
7:0 123456 012345 601234 560123 456012 345601 234560 123456 012345 601234 560123 456012 345601 234560 123456
Dans le tableau ci-dessus, on a représenté les entiers naturels successifs en modulo 2, 3, 5 et 7.
Les zéros communs à 2 et 3 reviennent tous les 2*3=6 nombres.
Ceux communs à 2,3 et 5 tous les 30 nombres (2*3*5).
Ceux communs à 2,3,5 et 7 tous les 210 nombres (2*3*5*7).
Chaque nombre est défini de manière unique par 4 chiffres, chacun étant sa valeur modulo 2, puis 3, puis 5, puis 7.
Par exemple 13 se lit (1,1,3,6) sous entendu (1+2k, 1+3k', 3+5k'', 6+7k''')
Le (0,0,0,0) de la première colonne ne peut être répété que si le (0,0,0,0) suivant est multiple, en même temps, de 2,3,5 et 7.
Comme ces nombres sont premiers, le multiple commun est leur produit=210.
De même tout nombre de ce tableau à la colonne quelconque C sera répété identique à la colonne C+210.
En effet soit le nombre (a,b,c,d) représenté par une colonne du tableau.
Pour retrouver a, il faudra un écart multiple de 2.
Pour retrouver b, il faudra un écart multiple de 3.
Pour retrouver c, il faudra un écart multiple de 5.
Pour retrouver d, il faudra un écart multiple de 7.
Pour retrouver (a,b,c,d) il faudra un écart multiple à la fois de 2,3,5 et 7, soit 210 pour le PPCM.
Comme le nombre de nombres (a,b,c,d) est de 210 (2 pour a, 3 pour b, 5 pour c, 7 pour d), et que la séquence est 210, tous les nombres sont présents.
Une fois cette séquence écrite, pas la peine de l'écrire à l'infini pour les autres entiers, cette séquence se répète d'elle même.
Ecrivons maintenant la suite des écarts entre les entiers naturels.
111111111111111111111111111111.........
Supprimons les multiples de 2:
111222222222222.....
Supprimons aussi les multiples de 3
11122424242424242424242......
Supprimons aussi les multiples de 5
1112(5)2424(17)24(23)6(29)264242(49)4626 42424626 42424626 42424626....les nombres entre parenthèses sont les entiers,et non
les écarts, ils servent de repère.
Evidemment le caractère séquentiel se retrouve aussi dans cette écriture, puisque c'est une autre forme du 1er tableau .
Combien d'écarts dans cette suite ?
Si on veut supprimer les multiples de 7, il suffit d'abord d'ecrire 7 fois la suite (7) 42424626 (37) pour arriver à 210 + 7.
Ensuite on ôte les multiples de 7. Combien y en a t il ?
Dans la séquence des 210 nombres du tableau du début, il faut juste identifier les (a,b,c) qui n'ont aucun zéro, car ce sont les nombres
qui ne sont pas multiples de 2,3 ou 5. Il y en a 1 pour a, 2 pour 3 et 4 pour 5, donc 1*2*4=8.
C'est bien la suite des 8 écarts 42424626, dont l'écart total est de 30.
Comme on a dit plus haut que dans la suite des 210 nombres, chacun était représenté une fois sous la forme (a,b,c,d), les zéros de la ligne
du 7 sont présents à chaque (a,b,c) et notamment les 8 (a,b,c) sans zéro. Donc il y a 8 nombres (a,b,c,0) avec a,b,c différents de zéro.
Ce sont ces nombres qui sont éliminés par les multiples de 7.
Ecrivons cette suite:
(7) 42424626(37) 42424626(67) 42424626(97) 42424626(127) 42424626(157) 42424626(187) 4242 46 2 6 (217) devient après suppression des multiples de 7:
(11) 2424626 424 6626 42 646 8 42424 86 4 624626 6424626 4242.10.2.10.(221)
Bien entendu, le (7) ne peut pas faire partie de la séquence, on est obligé de décaler d'un pas, la séquence démarre à 11 (présentation pratique)
On remarque que chacun des 8 nombres (ou écarts) de 42424626 est éliminé. Evidemment, chacun représente 1 des 8 nombres (a,b,c) modulo (2,3,5)
dont aucun n'est nul.
Comme 2 nombres jumeaux du même groupe ne peuvent être éliminés en même temps, car trop proches, les écarts 2 sont éliminés 2 fois.
Explication
Soit cette séquence 4242626, il y a des nombres entre les écarts.
Numérotons les: 4(1)2(2)4(3)2(4)6(5)2(7)6(8) Chacun de ces nombres sera éliminé une seule fois par un multiple de 7.
On ne peut pas éliminer (1) et (2) de la même séquence, ils sont trop proches pour 2 multiples de 7 consécutifs.
En éliminant le (1) dans cette séquence, on élimine un écart 2. la séquence devient 6(2)4(3)2(4)6(5)2(7)6(8).
En éliminant le (2) dans l'une des 6 autres séquences, on élimine à nouveau un écart 2. la séquence devient 4(1)6(3)2(4)6(5)2(7)6(8).
On peut maintenant résumer.
Les nombres non divisibles par les k premiers nombres premiers (appelés par commodité presque premiers) p1,p2,..pk sont présents dans la suite des entiers naturels selon une séquence
de longueur Spk= p1*p2*..pk.
La quantité de ces nombres presque premiers dans la séquence est exactement de Npp=(p1-1)*(p2-2)*....(pk-1).
La quantité des couples de nombres jumeaux presque premiers dans la même séquence (écart 2) est exactement de Npj=(p3-2)(p4-2)...(pk-2).
On appelle Longueur Lpj l'écart moyen entre 2 couples de presque premiers jumeaux.
Elle se calcule en faisant le rapport Lpj=Spk/Npj.
Supposons maintenant qu'on ait défini la suite Spk pour le nombre premier pk.
On passe de pk à p(k+1) en multipliant pk par p(k+1)/pk.
Quand on va définir la suite Sp(k+1) la longueur Lpj(k+1) va devenir Lpj(k+1)=Lpjk*p(k+1)/(p(k+1)-2)
Sauf quand pk et p(k+1) sont jumeaux, le rapport entre les 2 nombres premiers successifs du rang k au rang k+1 est plus grand que celui qui fait passer
la longueur Lpj du rang k au rang k+1. Le rapport pk/Lpj est croissant.
Or, le premier nombre de la séquence Spk éliminé par un multiple de p(k+1), quand on fabrique la séquence Sp(k+1), est p(k+1)².
Et tous les couples de nombres presque premiers entre p(k+1) et p(k+1)² sont vraiment premiers. Et parmi eux forcément les nb premiers jumeaux.
Si, entre p(k+1) et son carré, on arrive à prouver qu'il y a une moyenne égale ou supérieure à la moyenne des "presque premiers jumeaux" de la séquence
Sp(k+1), on aura alors prouvé qu'il existe toujours des nombres premiers jumeaux entre un nombre premier et son carré.
Comment se fabrique une séquence Sp(k+1) ?
On dispose de la séquence Sp(k), on la duplique p(k+1) fois. On va donc trouver successivement les séquences S1, S2, S3, jusqu'à p(k+1).
Les nombres de la séquence S2 sont trouvés en additionnant ceux de S1 par la longueur de la séquence.
Les nombres de la séquence S3 sont trouvés en additionnant ceux de S2 par la longueur de la séquence.
etc.
On prend ensuite tous les nb premiers de la séquence S1, dont le premier est p(k+1), et on les multiplie tous par p(k+1). Ces multiples de
p(k+1) vont supprimer dans les différentes séquences S1, S2, S3,...des nombres déclarés presque premiers jusqu'alors.
Le premier nombre supprimé est p(k+1)². On peut calculer la distance moyenne entre ce p(k+1)² avec le 2ème nombre éliminé.
C'est p(k+1) fois la distance moyenne entre 2 "presque premiers" dans la séquence Spk.
Cette distance ou longueur moyenne est définie par le rapport Lpk=Spk/Npp, ou encore p1/(p1-1)*p2/(p2-1)....*pk/(pk-1).
Cette longueur moyenne est nettement inférieure à p(k+1).
Quelques chiffres
Nb premier écart moy. entre 2 "presque premiers"
2 2
3 3
5 15/4
7 4,4
11 4.8
13 5.2
17 5.5
19 5.8
etc
Plus p grandit, plus cette différence sera marquée.
Donc il y a une forte distance entre le premier nombre de la séquence: p(k+1) et le premier nombre éliminé qui est p(k+1)², et ensuite les nombres éliminés
suivants sont en moyenne bien plus rapprochés.
Donc la séquence S1 a forcément plus de nombres premiers dans le début de la séquence (avant p(k+1)²) qu'après. Les autres séquences S2, S3,..
seront statistiquement équilibrées.
Et donc le début de la séquence S1, entre p(k+1) et son carré, a aussi statistiquement plus de premiers jumeaux que la moyenne.
Au final, quand on aura complétement construit la séquence Sp(k+1), du fait de la construction par duplication des séquences élémentaires Spk
on aboutit à un certain équilibre dans la répartition des presque premiers, sauf que le début de séquence est légèrement plus pourvu en nombres
premiers, et réellement premiers cette fois.
Donnons quelques chiffres pour illustrer cette tendance.
Pour le nombre 59, entre 59 et son carré, on recense 84 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 83.9
Pour le nombre 71, entre 71 et son carré, on recense 118 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 110
Pour le nombre 79, entre 79 et son carré, on recense 137 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 129.5
Pour le nombre 83, entre 83 et son carré, on recense 151 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 139
Pour le nombre 89, entre 89 et son carré, on recense 165 paires de jumeaux premiers, le calcul par Lpj donne 156.
On remarque que le nombre réel de premiers jumeaux semble supérieur au nombre théorique. C'est normal, puisque lorsqu'on applique un filtre
par un nombre premier pk, le premier nombre éliminé est pk², donc l'espace entre pk et pk² est de longueur théorique Lp(k-1)j.
CONCLUSION
Le mode de construction des séquences des "presque premiers" met en évidence, par le système de duplication des séquences successives, une
certaine répartition uniforme de ces presque premiers. Avec, statistiquement, une densité plus forte au début de chaque séquence. Justement là
où se trouvent les vrais nombres premiers.
Comme on a vu qu'entre un nombre premier et son carré, la quantité théorique de nombres presque premiers jumeaux augmente lorsque le nombre premier augmente,
et que de plus le nombre réel de premiers jumeaux est plus fort que cette moyenne, on a là une preuve (statistique et heuristique) que les nombres premiers
jumeaux sont en nombre illimité.
SECOND VOLET
Recherche de la plus grande longueur possible entre 2 paires de nombres premiers jumeaux.
Soit la suite S6 des 6k entiers, k entier de 1 à l'infini.
Tous les nombres premiers jumeaux sont dénombrables dans cette suite, puisqu'ils sont de la forme (6k-1, 6k+1).
Tentons d'éliminer les multiple de 5.
les multiples successifs de 5 modulo 6 sont 5(5) 4(10) 3(15) 2(20) 1(25) 0(30) et à nouveau 5,4,3...
On peut aussi écrire cete suite sous la forme -1 -2 3 2 1 0. Ce sont les valeurs 1 et -1 qui éliminent les nombres premiers jumeaux.
La séquence s'étend sur une longueur de 6*5=30 nombres. On élimine les éléments de 6 à partir de 5² (+1) puis 35(-1) puis 55(+1)...
La période d'élimination dans la suite S6 est de 5.
S6: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...
Après élimination des multiples de 5, en remplaçant les valeurs éliminées par 0:
S6: 1,2,3,0,5,0,7,8,0,10,0,12,13,0,15,0,17,18,0,20,0,22,23,0,25,0,27,28,0,30,0,..
L'exemple pour 5 est vrai pour tous les autres nombres premiers. Dans la suite S6, seront éliminés les multiples de p selon une séquence
de longueur p. Dans cette séquence, 2 nombres seront éliminés.
par windows7 » 10 Sep 2010, 07:02
salut ffpower,
la seule preuve que je connaisse repose sur la methode du crible comme l'a dit mathelot
la seule preuve que je connaisse repose sur la methode du crible comme l'a dit mathelot
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