Quasi-dérivabilité

[Nightmare]

Hello,

pour les lycéens :

Etant donnée une fonction , on dit que f est quasi-dérivable sur lorsque la limite existe et est finie pour tout x. L'application est la quasi-dérivée de f.

Quelques questions en vrac :

1) Une fonction quasi-dérivable est-elle toujours continue? dérivable? Réciproquement, une fonction continue (resp. dérivable) est-elle quasi-dérivable ?

2) Montrer qu'une fonction quasi-dérivable dont la quasi-dérivée est positive est croissante. Réciproque?

3) Que dire d'une fonction quasi-dérivable de quasi-dérivée nulle? De quasi-dérivée seconde nulle?

4) Si la quasi-dérivée seconde est positive, l'application est-elle convexe? Et si elle est strictement positive, que dire des extrema?

Si vous voyez des questions intéressantes à rajouter, n'hésitez pas :lol3:

:happy3:

[Anonyme]

1) si et pour

pour pour x=0 donc elle est quasi dérivable en sans être continu ni dérivable en 0.

Une fonction dérivable est quasi dérivable:



Donc une fonction dérivable est quasi dérivable.

Je réfléchi au cas ou f est seulement continue ..

[Anonyme]

C'est bon j'ai réussi a trouver un contre exemple :

Prenons sur et sur .

g(x) est continue en 0 pourtant .

[vincentroumezy]

C'est quoi f#(x) ?
Merci.

[Nightmare]

Salut !

1) donc ta fonction n'est pas quasi-dérivable en 0.

Mais, l'idée est là, il suffit de prendre par exemple f nulle partout sauf en 0 où elle vaut 1, il est clair qu'elle est quasi-dérivable en 0 sans y être continue.

Dérivable => quasi-dérivable ok

Pour continue n'implique pas quasi-dérivable, c'est ok à condition de remplacer x par 0 (ailleurs qu'en 0, ta fonction est dérivable donc quasi-dérivable).

[Nightmare]

C'est quoi f#(x) ?
Merci.

La notation est définie dans l'énoncé, c'est la limite, si elle existe, du rapport en question.

[Anonyme]

Pour la 2me question je pense distinguer 3 cas :

1/ quasi derivable + dérivable (évident)
2/ quasi dérivable + continu uniquement
3/ quasi dérivable uniquement (non continue)

[benekire2]

Salut !

comment faire la question 4 svp?

Merci!

[Nightmare]

Pour la 4, on peut poser avec f notre fonction deux fois quasi-dérivable de quasi-dérivée seconde positive.

[benekire2]

Pour montrer qu'elle est convexe je dois donc montrer que la dérivée deconde est strictement positive, sauf que par hypothèse on a pas la dérivabilité, juste la quasi-dérivabilité, ce qui ne parrait pas suffisant. D'autre part je vois pas trop où tu veut en vennir avec ton indication, je sens bien que le x² veut être dérivé deux fois (quasiment ou pas d'ailleurs ... ca change rien) , mais je vois pas ..

Sinon pour la 2 , je croyais avoir la réponse, mais ma preuve était fausse. Comment fais-tu ?
Pour la 3 j'aimerais bien dire que f est constante (resp affine) mais j'y arrive pas, sous réserve que ce soit juste. En gros questions 2 et 3 j'arrive pas a calquer les méthodes qu'on utilisait pour la dérivée (Rolle, Acrossements finis ...)

Merci !

[Anonyme]

Salut Benekire et Nightmare !

Idem pour la 2 (la 3 j'ai pas encore lu la question).

Ce qui est intéressant c'est que si l'on arrive a démontrer que quasi dérivée positive ===> fonction croissante on aurait alors une nouvelle démonstration de dérivée positive ===> croissante car toute fonction dérivable est quasi dérivable mais comme je n'ai jamais vu d'autre demo que celle avec le TAF j'ai tendance a penser que le TAF reste valide pour les fonctions quasi dérivables. Mais c'est difficilement imaginable surtout qu'une fonction quasi dérivable peut être discontinue.

[Nightmare]

Pour la 2. poser :lol2:

[Nightmare]

Bene >

Pour la 4) tu peux commencer par prouver que les sont convexes (pour la 2. montrer qu'elles sont croissantes) et voir comment conclure dans chaque cas quant à la convexité (resp. croissance) de f.

la première partie de la 3 découle du coup du résultat de la 2 : si la quasi-dérivée est nulle, f est en même temps croissante et décroissante, donc constante. Si la quasi-dérivée seconde est nulle, en fait le résultat découlera de la 4. mais je l'ai mis avant car on peut trouver une preuve sans utiliser la convexité de f.

[benekire2]

Pour la fin de la 3 ; on a donc f' constante et on doit pouvoir montrer que f est affine ...

Bon, sinon je c'est pas où en est Qmath mais on veut montrer que f_k :x --> f_k(x)=f(x)+kx est croissante , sauf que suffit pour ça de démontrer que f croissante et on se mord la queue ... sauf que ça doit pas être ça qu'il faut faire bien sûr ... Et a part dériver ou prendre la définition je sais pas comment montrer que fk est croissante;

je ne vois pas :cry:

[Nightmare]

Il faut de toute manière utiliser à un moment où à un autre le fait que la pseudo-dérivée est la limite du quotient en question dans l'énoncé, et travailler formellement sur cette limite, un peu comme on le fait pour démontrer les théorèmes de Rolle et des accroissements finis.

[Anonyme]

Je crois avoir trouver (ou pas):

avec z(h) tend vers 0 quand h tend vers 0



il existe un réel a tel que

Considérons alors un intervalle 2a et prenons deux réels x et y dans cet intervalle tel que



donc est croissant sur tout intervalle de longueur 2a elle est par conséquent croissante sur ton son domaine.

Qu'en pensez vous ?

[Nightmare]

Oui, c'est très bien ! Reste à conclure que f est croissante en 3 mots. Même idée pour la pseudo-dérivée seconde et la convexité. :happy3:

[benekire2]

La conclusion vient du fait que en écrivant la croissance de f_epsilon il reste a prouver que l'on peut trouver epsilon tel que (...) sauf que on peut prendre epsilon aussi petit qu'on veut.

Sinon, pour la deuxième (question 4) j'allais demander si l'on fait pareil, a priori il faut montrer que f_epsilon est convexe, puis de trouver un argument pour revenir à f.

Est-ce que tu as de la littérature sur ce sujet (quasi dérivabilité) ? Google n'a pas l'air de connaître ... et ça sert a quoi sinon ?

Merci !

PS. C'est connu "l'astuce" du +epsilon x où c'est "naturel" ?

[Nightmare]

Hello !

Le poly dans lequel j'ai rencontré la notion l'appelle "dérivabilité au sens de Schwarz"

[benekire2]

Ok , je vais aller voir tout ça ! J'ai aussi des questions à rajouter sur le sujet, et j'ai pas forcément d'idées de preuves, mais ça parrait "intéressant". Ou alors on peut faire des trucs "rigolo" genre construire une théorie de la quasi intégration ou de la quasi dérivation.