Probamuzantes

[Pluzin]

J`ai une urne qui contient au depart 6 boules numerotees de 1 a 6.

Je tire au hasard 2 boules k1 et k2.
Je calcule la somme k1+k2.
Si la somme a une valeur deja existante dans l`urne (exemple 1+2=3), je tire une 3eme boule.
Je calcule k1+k2+k3.
Tant que la somme (k1+k2+k3+...ki) a une valeur deja existante dans l`urne, je continue a tirer i+1 boule.
Si la somme a une valeur differente de celles deja dans l`urne, je cree une nouvelle boule que je numerote de la valeur de la somme.
Ensuite je remets les boules tirees plus la nouvelle boule dans l`urne.
Je reitere le processus indefiniment creant a chaque fois de nouvelles boules.
Au bout de combien de tirages, je peux esperer avoir 90 chances sur 100 pour que mon urne contienne tous les numeros de 1 a 100 (chacun au moins une fois).

Exemple:

tirage 1:4 et 2 (4+2=6 le 6 existe dans l`urne)
tirage 2:3 (4+2+3=9 le 9 n`existe pas donc je cree la boule 9)
Je remets toutes les boules dans l`urne et je recommence le meme processus.
Mon urne repart avec les boules 1,2,3,4,5,6,9

etc....

Une convention pour eviter les confusions : On considere qu`un tirage correspond a la creation d`une nouvelle boule.

[Doraki]

une chaîne de Markov a 2^94 états ? j'crois pas que ça va être facile à calculer. Ta meilleure option est de faire une simulation, de noter le temps mis pour obtenir les 100 boules, et espérer que la loi observée converge rapidement.

[Pluzin]

une chaîne de Markov a 2^94 états ? j'crois pas que ça va être facile à calculer. Ta meilleure option est de faire une simulation, de noter le temps mis pour obtenir les 100 boules, et espérer que la loi observée converge rapidement.

Il est toujours possible d`aborder ce probleme autrement je pense.
Je cogite en meme temps que vous toutes et tous.

[Pluzin]

Independamment de tout calcul, a quoi peut-on s`attendre apres avoir effectue 94 tirages?

[beagle]

Independamment de tout calcul, a quoi peut-on s`attendre apres avoir effectue 94 tirages?

J'ai fait 94 tirages,
ne sont jamais sortis les nombres 7 et 19,
par contre j'ai du 129 et du 148 ...
entre autres

ce qui est ennuyeux c'est que les petits nombres s'ils ne sortent pas dans les premiers tirages,
ben ils ont une proba de sortie qui diminue avec n (tirages), ce qui oblige à augmenter n pour les faire sortir, ce qui diminue encore leur proba de sortie,
90 chances sur 100 d'avoir tout de 1 à 100, ben cela semble pas gagné.

PS: méthode de calcul basée sur l'intuition après un faible investissement,
validité du message: faible
date de péremption message: quelques heures

[beagle]

admettons que 15 séries sur 100 séries n'ont pas sorti le 7 au bout de 94 tirages= 100 boules dans l'urne.
Admettons que la proba de sortir ce 7 soit devenue à n=94, 100 boules, soit devenue:
0,0008
et admettons qu'augmenter n fera encore baisser cette proba de sortir le 7,

question: l'ambition de l'énoncé est-elle encore réalisable?

[Doraki]

Ah j'avais pas fait gaffe que plus on rajoutait des boules au dessus de 100 plus la probabilité de tirer une boule en-dssous de 100 diminuait.

Ca fait que la probabilité d'obtenir un numéro fixé à l'avance est strictement inférieure à 1.

Et donc qu'il est extrêmemnt improbable de parvenir à réunir les 100 premiers numéros.

[Pluzin]

Ah j'avais pas fait gaffe que plus on rajoutait des boules au dessus de 100 plus la probabilité de tirer une boule en-dssous de 100 diminuait.

Ca fait que la probabilité d'obtenir un numéro fixé à l'avance est strictement inférieure à 1.

Et donc qu'il est extrêmemnt improbable de parvenir à réunir les 100 premiers numéros.

Extremement improbable ne veut pas dire impossible.
Quel serait alors la probabilite que 7 ou/et 19 (ou d`autres nombres <100) ne soient pas crees au bout de 10000 tirages?

Bref, le probleme est assez ardu je pense pour qu`une reponse definitive soit donnee en si peu de temps.
Programmer une simulation pour ce probleme n`est pas facile egalement.

[beagle]

Extremement improbable ne veut pas dire impossible.
Quel serait alors la probabilite que 7 ou/et 19 (ou d`autres nombres <100) ne soient pas crees au bout de 10000 tirages?

Bref, le probleme est assez ardu je pense pour qu`une reponse definitive soit donnee en si peu de temps.
Programmer une simulation pour ce probleme n`est pas facile egalement.

admettons que la proba de tirer 7 après n tirages soit:
6x(n+7)/(n+4)(n+5)n+6)

alors tirer un 7 après 94 tirages sera de 0,0006

après 1000 tirages: 0,000006

après 10 000 tirages : 6 e-8

donc si tu ne réalises pas l'évènement 7 au départ, plus le temps passe plus il est difficile à réaliser.
Or pour assurer la survenue d'un évènement rare, tu multiplies les tirages.sauf qu'en multipliant les tirages , ici, on réduit de plus en plus ses chances.

donc admettons que après 94 tirages 20% des séries n'ont pas le 7
(j'avais pris 15% mais en faisant large)
on va faire tomber ce 20% à 19,7% puis à 19,5%, puis à 19,45 puis à 19,425 puis ...
on va rencontrer une limite que l'on ne pourra pas atteindre, on va tendre vers ...

et cela uniquement avec le 7, mais il y a d'autres retards de nombres de 1 à 100 qui seront à combler après les 94 tirages, et là idem plus on va s'éloigner plus les retards seront difficile à combler ...

Pas fait les calculs qui sont faisables jusqu'au bout, mais on doit ètre entre 15 et 20 % j'imagine de séries qui ne feront jamais le 7.

[Pluzin]

admettons que la proba de tirer 7 après n tirages soit:
6x(n+7)/(n+4)(n+5)n+6)

alors tirer un 7 après 94 tirages sera de 0,0006

après 1000 tirages: 0,000006

après 10 000 tirages : 6 e-8

donc si tu ne réalises pas l'évènement 7 au départ, plus le temps passe plus il est difficile à réaliser.
Or pour assurer la survenue d'un évènement rare, tu multiplies les tirages.sauf qu'en multipliant les tirages , ici, on réduit de plus en plus ses chances.

donc admettons que après 94 tirages 20% des séries n'ont pas le 7
(j'avais pris 15% mais en faisant large)
on va faire tomber ce 20% à 19,7% puis à 19,5%, puis à 19,45 puis à 19,425 puis ...
on va rencontrer une limite que l'on ne pourra pas atteindre, on va tendre vers ...

et cela uniquement avec le 7, mais il y a d'autres retards de nombres de 1 à 100 qui seront à combler après les 94 tirages, et là idem plus on va s'éloigner plus les retards seront difficile à combler ...

Pas fait les calculs qui sont faisables jusqu'au bout, mais on doit ètre entre 15 et 20 % j'imagine de séries qui ne feront jamais le 7.

C`est quoi cette notion de retard a combler?
A chaque tirage les 3 couples 1-6,2-5,3-4 ont les memes chances de sortir que n`importe quelle 3 couples. De meme pour le triplet 1-2-4 .....
De plus, les tirages vont au dela de 94.
Pour chaque n tirages il y a aura TOUJOURS k nombres n qui seront > n.
En choississant arbirairement 100 numeros non consecutifs entre 1 et m assumant que les n tirages sont largement > m, quelles seraient nos chances de les avoir tous au bout de n tirages?

[beagle]

C`est quoi cette notion de retard a combler?
A chaque tirage les 3 couples 1-6,2-5,3-4 ont les memes chances de sortir que n`importe quelle 3 couples. De meme pour le triplet 1-2-4 .....
De plus, les tirages vont au dela de 94.
Pour chaque n tirages il y a aura TOUJOURS k nombres n qui seront > n.
En choississant arbirairement 100 numeros non consecutifs entre 1 et m assumant que les n tirages sont largement > m, quelles seraient nos chances de les avoir tous au bout de n tirages?

Oui, bien sur chaque couple tiré aura la mème proba pour un tirage donné,
mais la proba de 1-2 quand 6 boules est plus forte que proba de 1-2 quand 100 boules.
donc, oui ok vas-y calcule la proba de sortir du 7 en fonction du nombre de boules ou du nombre de tirages.Calcule-la.

ce que j'appelle retard et avances, c'est que ton processus est une machine à avancer plus vite qu'elle ne comble les trous qu'elle laisse au fur et à mesure.Je dis que si le 7 n'est pas sorti dans les premiers tirages, ta machine fabrique plus de nouveaux nombres en avance sur les consécutifs ou le gruyère des consécutifs.Bref ta machine fabrique plus de gruyère qu'elle n'arrive à mettre du fromage dans les trous!

[beagle]

"En choississant arbirairement 100 numeros non consecutifs entre 1 et m assumant que les n tirages sont largement > m, quelles seraient nos chances de les avoir tous au bout de n tirages?"

Sur ce que je vois , machine à créer des trous qu'elle a bien du mal à combler,
je pense que des trous sont incomblables, donc je dirais bien : aucune chance.
Enfin perso je mise rien sur c'est possible.

[Pluzin]

Le cas du 7 :
Considerant les couples d`abord :
- cas favorables : 1-6,2-5,3-4 soit 3 cas quelque soit n
- cas possibles : n(n-1)/2 moins les couples qui existent deja dans l`urne. Et quand la somme du couple existe deja l`urne on tire une 3eme boule.
On peut calculer avec precision ce que l`on doit soustraire de n(n-1)/2 pour que les cas possibles sont connus. Estimons cela a 1/2 de n(n-1)/2 soit n(n-1)/4.
Le cas du triplet deviendra de plus en plus negligeable quand n devient grand.

Cela donne 12/(n(n-1)

n=10000 cela donne 1/8.332.500 d`avoir un 7.

Au bout d`un certain nombre de tirages suffisamment grand je pense que l`on peut combler les nombres de 1 a 100.

Le calcul fastidieux peut nous donner le nombre exact de tirages necessaires (au moins 90% de chances).

Cela peut amuser certains de faire ce calcul.
Ce cas modelise la vie, les langages, etc....
Il y a des especes qui tarderont a se faire jour.
Il y a des atomes qui tarderont a completer nos classements
Bref des trous encore des trous.
Peut-etre que nos ordres sont-ils illusoires?

[beagle]

Le cas du 7 :
Considerant les couples d`abord :
- cas favorables : 1-6,2-5,3-4 soit 3 cas quelque soit n
- cas possibles : n(n-1)/2 moins les couples qui existent deja dans l`urne. Et quand la somme du couple existe deja l`urne on tire une 3eme boule.
On peut calculer avec precision ce que l`on doit soustraire de n(n-1)/2 pour que les cas possibles sont connus. Estimons cela a 1/2 de n(n-1)/2 soit n(n-1)/4.
Le cas du triplet deviendra de plus en plus negligeable quand n devient grand.

Cela donne 12/(n(n-1)

n=10000 cela donne 1/8.332.500 d`avoir un 7.

Au bout d`un certain nombre de tirages suffisamment grand je pense que l`on peut combler les nombres de 1 a 100.

Le calcul fastidieux peut nous donner le nombre exact de tirages necessaires (au moins 90% de chances).

Cela peut amuser certains de faire ce calcul.
Ce cas modelise la vie, les langages, etc....
Il y a des especes qui tarderont a se faire jour.
Il y a des atomes qui tarderont a completer nos classements
Bref des trous encore des trous.
Peut-etre que nos ordres sont-ils illusoires?

sur le calcul de proba, je ne fais pas comme cela et je ne trouve pas pareil que toi.

mais en restant sur tes calculs:
n=10000 cela donne 1/8.332.500 d`avoir un 7.
alors y a intérèt à multiplier les tirages après 10 000 pour avoir du 7 ...
et alors ta proba va descendre à combien ?

Sur la philosophie de la vie, je préfère ma métaphore du gruyère, y aura toujours des trous,
contentons-nous de bouffer ce qui est autour des trous.

[Pluzin]

sur le calcul de proba, je ne fais pas comme cela et je ne trouve pas pareil que toi.

mais en restant sur tes calculs:
n=10000 cela donne 1/8.332.500 d`avoir un 7.
alors y a intérèt à multiplier les tirages après 10 000 pour avoir du 7 ...
et alors ta proba va descendre à combien ?

Sur la philosophie de la vie, je préfère ma métaphore du gruyère, y aura toujours des trous,
contentons-nous de bouffer ce qui est autour des trous.

Expose ton calcul dans ses grandes lignes pour le cas du 7.
Ce serait plus juste.

[beagle]

Expose ton calcul dans ses grandes lignes pour le cas du 7.
Ce serait plus juste.

Bah, je me gourre tout le temps.
Proba de sortir deux boules données = 1/ choisir deux boules dans n+6 boules
(proba après n tirages, on a alors n+6 boules)
1/C(2,n+6)

1-6, 2-5, 3-4 voilà 3 fois la proba de base

+

quand
1-2 alors faudra tirer du 4 donc: proba de base x 1/(n+6-2)
4 est tiré dans du n+6-2

idem pour
1-4 alors faudra tirer du 2
et 2-4, alors faudra tirer du 1

addition de tout ceci.

[Pluzin]

Bah, je me gourre tout le temps.
Proba de sortir deux boules données = 1/ choisir deux boules dans n+6 boules
(proba après n tirages, on a alors n+6 boules)
1/C(2,n+6)

1-6, 2-5, 3-4 voilà 3 fois la proba de base

+

quand
1-2 alors faudra tirer du 4 donc: proba de base x 1/(n+6-2)
4 est tiré dans du n+6-2

idem pour
1-4 alors faudra tirer du 2
et 2-4, alors faudra tirer du 1

addition de tout ceci.

Tu oublies d`enlever des cas possibles dans le cas du premier tirage :
1-2
1-3
1-4
1-5
2-3
2-4

qui te pousse a choisir une autre boule puisque la somme de ces couples existe deja

En plus, il y a des probabilites conditonnelles a prendre en compte :
tirer une i+1 eme boule si la somme des boules tirees existe deja dans l`urne.

Une simulation est necessaire pour eviter tous ces fastidieux calculs.

[Doraki]

on a 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 1+2+4,
donc la probabilité de n'obtenir le n°7 alors qu'il y a n (>=6) boules dans la boite est
3*2/n(n-1) + 1*6/n(n-1)(n-2) = 6/n(n-2).

La probabilité de ne jamais obtenir le n°7 est le produit pour n>= 6 des (1 - 6/n(n-2)), qui vaut environ 0.239814.

Donc t'as un peu moins d'1 chance sur 4 de ne jamais obtenir le n°7

[Pluzin]

on a 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 1+2+4,
donc la probabilité de n'obtenir le n°7 alors qu'il y a n (>=6) boules dans la boite est
3*2/n(n-1) + 1*6/n(n-1)(n-2) = 6/n(n-2).

La probabilité de ne jamais obtenir le n°7 est le produit pour n>= 6 des (1 - 6/n(n-2)), qui vaut environ 0.239814.

Donc t'as un peu moins d'1 chance sur 4 de ne jamais obtenir le n°7

Vous omettez de soustraire de n(n-1)/2 les couples (a,b) tels que a+b = a l`une des n boules deja dans l`urne! (edite!)

Le calcul est bien plus complexe que cela.

[Doraki]

Les soustraire de quoi ???