Positive attitude

[Imod]

Encore pour tous :we:

On considère un quadrillage infini dont les cases contiennent des réels quelconques . Une petite figure très dynamique que nous noterons S , contituée de plusieurs cases du quadrillage , a la particularité de toujours trouver positive la somme des cases qu'elle recouvre ( quand elle se positionne exactement sur le quadrillage ) . Elle prétend que toute figure constituée comme elle ( d'un nombre fini de cases ) , peut trouver une place sur le quadrillage de façon à ce que la somme de ses cases soit positive .

Montrer que ( pour cette fois ) elle/il a raison :zen:

Bon courage !!!

Imod

[Doraki]

La multiplication est commutative.
(je me souviens je trouvais ça profond quand j'étais en CE2 (et ça l'est))

une figure S ou T peut être décrite par un polynôme en X et Y dont tous les coefficients sont 0 ou 1.
Le quadrillage avec les nombres réels représente une application Q-linéaire f de Q[X,Y] dans R (un bien grand mot).

L'hypothèse sur S veut dire que pour tout monôme M (ou pour tout autre polynôme à coefficients positifs), f(M*S) >= 0.

Le but sur T veut dire qu'on doit trouver un monôme M (ou un polynôme à coefficients positifs), tel que f(M*T) >= O.

Je disais donc que la multiplication était commutative : T*S = S*T.
En prenant M=T dans l'hypothèse on trouve que f(S*T) >= 0, et on a gagné en prenant M=S dans le but :

il existe une position dans S (un monome de S) telle que quand on place T dessus, la somme des nombres des cases que T recouvre est positive.
Si pour toutes les positions de S c'était négatif alors ça voudrait dire que S*T, qui est une somme de trucs en forme de T, aurait une somme négative, or c'est forcément positif vu que c'est aussi une somme de trucs en forme de S, (c'est dur à décrire)

[Imod]

L'idée est là mais elle peut s'exprimer plus bien plus simplement ( réellement compréhensible par un CE2 moyen ) .

Imod

[Imod]

Une idée pour ceux qui cherchent encore :we:
On choisit une case de chaque pièce S ou X que l'on nomme le coeur . Que se passe-t-il si on translate la figure X de façon à ce que son coeur visite chaque case de S et réciproquement ?

Imod

[nodgim]

La moyenne générale de l'ensemble des cases est donc positive! Toute autre figure qui s'y promènera partout verra donc la même moyenne positive. Avec parfois des négatifs, mais aussi forcément des positifs.

[Imod]

Je ne suis pas convaincu par tes arguments .

Imod

[nodgim]

Je ne suis pas convaincu par tes arguments .

Imod

Par lequel ?

[Imod]

La moyenne générale de l'ensemble des cases est donc positive! Toute autre figure qui s'y promènera partout verra donc la même moyenne positive. Avec parfois des négatifs, mais aussi forcément des positifs.

considère un morceau de quadrillage :

|+2|+4|+2|
|+1|-4|-1|

le total est positif , un carré 2X2 si promenant aura toujours un total positif mais pas un seul L de 3 cases .

Imod

[nodgim]

considère un morceau de quadrillage :

|+2|+4|+2|
|+1|-4|-1|

le total est positif , un carré 2X2 si promenant aura toujours un total positif mais pas un seul L de 3 cases .

Imod

Tu as parlé d'un plan sans limites, je crois... alors donne moi les valeurs à droite, en haut, et, et ... et puis le L, on peut le renverser, non ?

[Doraki]

C'est quoi ta définition de "moyenne générale de l'ensemble des cases" ?

[nodgim]

C'est quoi ta définition de "moyenne générale de l'ensemble des cases" ?

La moyenne algébrique d'une zone de cases à peu près circulaire, de diamètre mettons 10 fois supérieur (pourquoi se limiter?) à la plus grande longueur des 2 figures, celle de référence et cette autre arbitraire.

[Imod]

Tu as parlé d'un plan sans limites, je crois... alors donne moi les valeurs à droite, en haut, et, et ... et puis le L, on peut le renverser, non ?

Je ne peux bien sûr pas t'en donner puisque le but de l'exercice est de montrer qu'il n'en existe pas , mais ton explication n'arrive pas à me convaincre :doh:

La moyenne algébrique d'une zone de cases à peu près circulaire, de diamètre mettons 10 fois supérieur (pourquoi se limiter?) à la plus grande longueur des 2 figures, celle de référence et cette autre arbitraire.

La forme des figures pouvant être très biscornues , à la limites formées de plusieurs composantes connexes je ne vois pas l'élément déterminant de ta preuve avec les moyennes .

Imod

[nodgim]

Je ne peux bien sûr pas t'en donner puisque le but de l'exercice est de montrer qu'il n'en existe pas , mais ton explication n'arrive pas à me convaincre :doh:


La forme des figures pouvant être très biscornues , à la limites formées de plusieurs composantes connexes je ne vois pas l'élément déterminant de ta preuve avec les moyennes .

Imod

Es tu d'accord avec l'existence d'une moyenne sur une zone 10 fois supérieure à la figure proposée ?

[Imod]

Es tu d'accord avec l'existence d'une moyenne sur une zone 10 fois supérieure à la figure proposée ?

Non , à vrai dire je n'ai pas compris le sens que tu donnes à cette moyenne , c'est sûrement de ma faute :doh:

Imod

[nodgim]

Non , à vrai dire je n'ai pas compris le sens que tu donnes à cette moyenne , c'est sûrement de ma faute :doh:

Imod

Non, c'est de la mienne, puisque Doraki a aussi posé la question, c'est que c'est trop flou :triste: . Alors donc, on prend une zone circulaire de diamètre 10 fois supérieur à la longueur de la figure qu'on se donne. On compte la somme de tous les nombres représentés dans cette zone, et on divise par le nombre de cases: c'est la moyenne. Je dis que, si, quel que soit l'emplacement de la figure, la somme des cases interceptées est positive, alors l'ensemble de la zone a une moyenne positive. Pourquoi ? parce que chaque case est visitée par la figure n fois, et qu'on fait donc donc n fois la somme, et qu'elle est positive, et que donc la division par n de cet ensemble sera aussi positif.

[Imod]

Je dis que, si, quel que soit l'emplacement de la figure, la somme des cases interceptées est positive, alors l'ensemble de la zone a une moyenne positive. Pourquoi ? parce que chaque case est visitée par la figure n fois, et qu'on fait donc donc n fois la somme, et qu'elle est positive, et que donc la division par n de cet ensemble sera aussi positif.

Le problème est que chaque case n'est pas nécessairement visitée autant de fois lors des déplacements de la figure , intuitivement les cases centrales risquent d'être visitées plus souvent . Non ?

Imod

[nodgim]

Le problème est que chaque case n'est pas nécessairement visitée autant de fois lors des déplacements de la figure , intuitivement les cases centrales risquent d'être visitées plus souvent . Non ?

Imod

Euh, non, précisément si la zone choisie est suffisamment grande par rapport à la taille de la figure. Le n que j'ai cité, c'est pour moi le nombre de cases de cette figure.

[nodgim]

Pour t'en persuader, découpe une zone carrée. Repère la case la plus haute et la plus à gauche de la figure. Fais avancer cette case repère sur la 1ère case en bas à droite de ta zone carrée. Déplace alors ta figure case après case vers le haut. Arrête quand ta figure a complètement dégagé la zone.
Recommence depuis le bas avec la case suivante de la zone. Tu auras fini quand la case de la figure la plus basse et la plus à droite aura dégagé la dernière case en haut à gauche de la zone carrée. Avec cette méthode, si ta figure comporte n cases, chaque case de la zone carrée aura été visitée exactement n fois.

[Doraki]

Tu dis que si tu prends une forme assez grande, alors quelle que soit sa position sur la grille, la somme de ses cases sera positive ?

Si ma forme est un rectangle vertical (3*1),
que mon quadrillage dépend de y et est en ... -1 +1 0 -1 +1 0 ...

Et que quand je prends mon carré de taille par exemple 31, je fais pas gaffe et je le prends tel que les lignes les plus hautes et les plus basses sont faites de -1.
Je calcule la somme des nombres sur ce carré et horreur, ça fait -31.

Bien sur on peut le déplacer pour qu'il soit nul ou positif, mais c'est précisément le résultat à démontrer, donc t'es un peu en train de faire une récurrence dans le mauvais sens (qui marche pas, bien sur)

[nodgim]

Tu dis que si tu prends une forme assez grande, alors quelle que soit sa position sur la grille, la somme de ses cases sera positive ?

Si ma forme est un rectangle vertical (3*1),
que mon quadrillage dépend de y et est en ... -1 +1 0 -1 +1 0 ...

Et que quand je prends mon carré de taille par exemple 31, je fais pas gaffe et je le prends tel que les lignes les plus hautes et les plus basses sont faites de -1.
Je calcule la somme des nombres sur ce carré et horreur, ça fait -31.

Bien sur on peut le déplacer pour qu'il soit nul ou positif, mais c'est précisément le résultat à démontrer, donc t'es un peu en train de faire une récurrence dans le mauvais sens (qui marche pas, bien sur)

A vouloir donner un exemple précis, je me suis fourvoyé.
Dans la plan sans limites, je dis que toutes les cases sont visitées n fois, n étant le nombre de cases de la figure. Si on n'admet pas ça, on n'admet pas qu'il existe autant de carrés parfaits que d'entiers naturels, par exemple.

PS: Attention tout de même à ton exemple, il te donne régulièrement des valeurs nulles.