Placement dégressif

[gaoriec]

Bonjour à tous,

Ca fait quelque temps que je cherche j'en peux plus, je vais vous exposer le problème :


Vous venez de recevoir 20 000 euros. Vous pouvez investir votre argent à 12% / an.
Pendant combien d'années pouvez-vous dépenser annuellement 3540 euros, jusqu'à épuisement de votre richesse (la première dépense étant située dans un an à partir d'aujourd'hui) ?

J'ai trouvé 9 ans en calculant année après année mais c'est un peu du bricolage, est-ce qu'il y' a une formule pour trouver approximativement 9 ?


NB : je suis les cours d'actualisation et de capitalisation mais aucune formule dont je dispose ne semble convenir (valeur actuelle, valeur capitalisée, valeur finale d'une annuité et valeur actuelle d'une annuité)
Merci

[Ben314]

Sauf erreur (je ne suis PAS DU TOUT dans la comptabilité), c'est à peu prés le même problème que celui du calcul des remboursements dans un cas d'emprunts avec "intérêts composés".

Au niveau mathématique, ce sont des problèmes de suite dite "arithmético-géométrique", c'est à dire de la forme U(n+1)=aU(n)+b où a et b sont deux constantes connues.

Dans ton problème, on a U(0)=20 000 et U(n+1)=1.12xU(n) - 3540 (capital+intérêt sur la somme restant de l'année précédente moins la somme dépensée)
Le procédé "standard" en math. pour ce genre de suite est de passer par une autre suite V(n)=U(n)-K où K est une constante que l'on va déterminer pour que la suite V(n) soit une suite géométrique :
V(n+1) = U(n+1) - K = 1.12xU(n) - 3540 - K = 1.12x(V(n)+K) - 3540 - K
car vu que V(n)=U(n)-K, c'est que U(n)=V(n)+k.
On a donc :
V(n+1) = 1.12xV(n) + 0.12xK - 3540 = 1.12xV(n)
à condition que l'on ait pris K tel que 0.12xK-3540=0, c'est à dire K=3 540/0.12=29 500.
Dans ce cas, la suite V(n) est géométrique : pour passer d'un terme au suivant, il faut multiplier par 1.12 donc pour passer directement à un terme 10 "crans" plus loin, il suffit de mulitplier par 1.12^10 (=1.12 x 1.12 x ... x 1.12 dix fois)
Plus généralement, on va donc avoir V(n)=1.12^n x V(0)
avec V(0) = U(0) - K = 20 000 - 29 500 = -9 500
On en déduit (enfin...) que U(n) = K + V(n) = 29 500 - 9 500 x 1.12^n
Et il n'y a plus qu'à résoudre l'inéquation U(n)>0 (en utilisant des logarithmes) pour conclure :
U(n)>0 lorsque 1.12^n 0 mais U(10)<0

[gaoriec]

Merci beaucoup pour cette réponse rapide claire et détaillée !