A^(b²)=b^a (pas très dur)

[BiZi]

Bonjour,

trouver tous les couples d'entiers naturels non nuls (a,b) qui vérifient la relation

a^(b²)=b^a

(les connaissances de Terminale S spé maths suffisent)

[altusi]

c'est un pb d'IMO1997...

[BiZi]

Bin en même temps on est dans la section "Olympiades" donc c'est normal que ce soit extrait d'un des sujets... Mais il est pas extrêmement difficile comparé à d'autres=)

[aviateurpilot]

merci pour ce probleme Bizi


soit p un nombre premier qui divise a, alors p divise b

donc
avec K de IN*
alors il existe N de IN tel que:
et
alors dans ce cas
alors si sinon

=> si
avec est une solution et on trouve facilement ou ou ou s=2;b=1 (s=2 pas une solution) ou
si b>1 et s>4; (s=2 pas une solution)


=> si on trouve facilement a=0,t=0 ou a=1,t=1 et si a>1
S_2={(0;0),(1;1)}

S={(0;0),(1;1),(27;3),(16;2)}

NB: je ne suis pas sure de cette solution car je l'ai pas fait sur un bouillons
j'ecrit et je :marteau: ma tete en meme temp et a la fin j'ai posté sans verification et just apres :dodo:

[BiZi]

Je regarderai plus tard ta solution, là j'ai pas trop le temps, mais déjà moi avec ma méthode j'ai trouvé que le couple (3,27) est aussi solution, ce qui est vrai. Il y'a donc un problème dans ton résultat :marteau:

[aviateurpilot]

puisque t'a trouvé alors ma solution est vrai
par ce que j'ai trouvé que les solution s'ecrit sous la form
ou
j'ai seulement fait une petite faute là:
=>

; b=0,s=1 ou b=1;s=1 ou b=0;s=0

j'ai pas vu s=b=3 et b=2;s=4

S={(0;0),(1;1),(27;3),(16;2)}
s'il existent d'autre solutions il faut qu'il verifie ce que j'ai trouvé dans ma 1er solution ou

[BiZi]

donc
avec K de IN*

Je ne comprends pas le passage de la première ligne aux autres, merci de m'éclairer :help:

[aviateurpilot]

on veut resoudre cette equation dans IN*:
on pose
alors il existe a' et b' tels que et avec
alors

puisque
a' divise x
alors il existe k tel que :
de meme façon on trouve