Parallélogramme

[nodgim]

Bonjour @ tous.
Soit dans le repère orthonormé le segment d'extrémités (0,0) et (17,53).
A quel plus petit segment à extrémités à coordonnées entières faut il l'associer pour construire un parallélogramme d'aire 2018 ?

Bonne recherche

[aviateur]

Bonjour
Si tu poses C= (16144, 50450) avec O=(0,0) et A=(17,53)
Alors [OC] est le segment de + plus petite longueur tel que OADC est un parallélogramme de surface 2018
Encore que je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la question

[nodgim]

OC convient comme solution, mais c'est loin d'être le plus petit segment !
Tu as bien compris la question posée.

[pascal16]

Par des considérations de longueur et surface, pour une figure proche d'un rectangle; on a OC=36.25...

La réponse en coordonnées entières doit donner une distance d'un peu plus de 36 pour OC

[aviateur]

Bonjour
C'est (-40, -6) . J'ai dû recopier autre chose que la réponse.
Je ne dis pas comment j'ai fait mais il n'y a rien de bien compliqué.

[Ben314]

Si le deuxième vecteur à pour coordonnées alors la surface du parallélogramme est :
.
Les points à coordonnées entières sur les droites d'équation (équation classique) sont ceux de coordonnée dont le carré de la norme est qui est minimum dans pour donc dans pour ce qui donne (ou bien )

[nodgim]

@ Aviateur: correct, tu aurais pu aussi bien donner (40,6)

@ Ben: Ok pour la résolution, mais il y a tout de même un écart de signe pour le second vecteur. En fait, si les pentes des 2 vecteurs sont positives, la résolution donne un négatif pour x ou y (17x-53y = 2018). Si les pentes sont de signes opposés, la résolution donne un positif ( 17x+53y=2018).

C'est une représentation géométrique de l'équation a*n + b*m = A
En fait les 2018 points (k17,k53) modulo 2018 forment un maillage du plan. Le parallélogramme recherché se construit entre 2 lignes de points de pente 53/17 et ne contient aucun point intermédiaire.
L'autre plus petit segment se construit avec le vecteur (-23,47).

C'est plus par cette relation géométrie / arithmétique que j'ai posé cette question, la résolution n'étant pas bien compliquée.