Orthogonaux ?

[Ben314]

Comme il n'y a pas grand chose en ce moment, je met une petite amusette pas trop difficile :

On considère 3 vecteurs de R^n dont les coordonnées sont toutes des et qui sont deux à deux orthogonaux.
Montrer que n est un multiple de 4.


Généralisation à plus de 3 vecteurs ? (là, j'ai pas la soluce...)

[Monsieur23]

Aloha,

En blanqué :

En les appelant X, Y et Z, on peut supposer sans perte de généralité que X = (1,…,1). Pour avoir XY=0, on a donc nécessairement autant de 1 que de -1 dans Y (on a donc n pair).
Quitte à permuter les coordonnées, on peut supposer que Y = (-1,…,-1,1,…,1).
De même, Z a autant de -1 que de 1.
Si les 1 de Z sont mals répartis par rapport au milieu de Z, ça foire (si trop de 1 dans la partie gauche, YZ 0).
Donc il y a autant de 1 et de -1 dans les n/2 premières coordonnées, idem pour les n/2 dernières.

Donc n/2 est pair, et donc n est divisible par 4.

[Ben314]

Nickel :king2:

En plus, je pense que les mêmes argument s'appliquent à peu prés directement au cas où on a k vecteurs...