Inséparables

par **Imod** » 03 Mar 2009, 19:23

Bonsoir :zen:

Un problème que j'ai proposé sur un autre site . Quelqu'un verrait-il une solution limpide sans de multiples études de cas ???

On considère six points de l'espace tels que quatre d'entre eux ne soient jamais coplanaires . Montrer que l'on peut relier ces points trois par trois de façon à obtenir deux triangles imbriqués comme sur le dessin .

Faussement évident !!!

Imod

par **ThSQ** » 03 Mar 2009, 19:40

Imbriqué = il y a une conf dans laquelle un point est dans un triangle et les deux autres au dehors, comme sur le dessin ? Si oui, et si on place les six points comme sommets d'un polygone (strictement) convexe y'a pas un pb ?

par **nodgim** » 03 Mar 2009, 19:54

On peut toujours emballer les 6 points avec du papier kraft ça fera déja un bel octaèdre, convexe ou pas. :zen:

par **nodgim** » 04 Mar 2009, 06:26

Quand un terrien observe la grande Ourse, ou la casserole, sans la queue, il voit un quadrilatère. Au même moment, il y a peut être un oxien qui fait la même observation depuis sa planète située de l'autre coté de la grande Ourse. On sait que ces 4 étoiles du quadrilatère ne sont pas coplanaires, leurs 2 diagonales ne se coupent pas. Le terrien imagine alors ces 2 diagonales et sait donc que l'une passe derrière l'autre. Le triangle formé par l'observateur terrien et sa diagonale arrière s'imbrique avec celui formé par l'oxien et l'autre diagonale.

par **Imod** » 04 Mar 2009, 09:57

Dans ta configuration tu sous-entends que l'enveloppe convexe formée par les quatre étoiles et les deux observateurs est un octaèdre ce qui n'est malheureusement pas toujours le cas :cry:

Imod

par **nodgim** » 04 Mar 2009, 17:28

Imod a écrit:Dans ta configuration tu sous-entends que l'enveloppe convexe formée par les quatre étoiles et les deux observateurs est un octaèdre ce qui n'est malheureusement pas toujours le cas

Imod

Je sais mais c'est au moins un tétraèdre, non ? Donc depuis 4 points cette configuration est possible.

par **Imod** » 04 Mar 2009, 18:40

Un petit dessin valant mieux qu'un long discours :

Je remplace le morceau de grande ourse par les quatre points rouges et gris les deux rouges étant les plus près de la terre T et les deux gris les plus près de l'autre observateur F . T est devant les quatre points et F derrière : comment construis-tu tes triangles ?

Imod

par **nodgim** » 04 Mar 2009, 22:00

Abandonnons le réel et revenons à la géométrie.
Le nuage des 6 points a une enveloppe extérieure, qui a au moins 4 points pour sommets. On arrivera toujours à trouver 2 plans parallèles passant par 2 sommets opposés et contenant chacun son sommet et pas d'autres points, ceux là se trouvant entre ces 2 plans. A partir de cette configuration, la description faite précédemment marche forcément.

par **Imod** » 04 Mar 2009, 22:14

nodgim a écrit:On arrivera toujours à trouver 2 plans parallèles passant par 2 sommets opposés et contenant chacun son sommet et pas d'autres points, ceux là se trouvant entre ces 2 plans. A partir de cette configuration, la description faite précédemment marche forcément.

Bien sûr que non , il suffit de prendre deux plans parallèles passant par les points T et F du dessin précédent pour s'en convaincre :briques:

Imod

par **nodgim** » 05 Mar 2009, 19:03

Imod a écrit:Bien sûr que non , il suffit de prendre deux plans parallèles passant par les points T et F du dessin précédent pour s'en convaincre :briques:

Imod

Je sais, il y a bien une faille dans mon raisonnement, je suis sûr d'avoir des triangles "emboités" mais pas "imbriqués". Je n'ai pas la bonne recette. :cry:

par **nodgim** » 05 Mar 2009, 21:15

Nouvelle tentative:
D'un point de l'enveloppe extérieure, on voit soit un pentagone, soit un quadrilatère avec un point à l'intérieur, soit un triangle avec 2 points intérieurs.

1)Le pentagone
5 diagonales, chacune coupe 2 autres. Il est impossible que chaque diagonale coupe les 2 autres soit au dessus soit au dessous (en démarrant avec par exemple un "passe au dessus", on déduit les autres ponts et on arrive à une contradiction) donc nécessairement, une diagonale va couper l'une par le dessus et l'autre par le dessous. Cette diagonale associée au point d'observation forme un triangle imbriqué avec le triangle formé par les 3 autres points.

2)Le quadrilatère et le point intérieur
2 diagonales + les 4 segments reliant le point intérieur et donc 3 intersections. On peut configurer les diagonales qui se croisent "toujours au dessus" ou "toujours au dessous", mais dans ce cas le point intérieur passe une fois en dessous. Cette arête qui passe sous la diagonale forme avec le point observateur un triangle imbriqué avec le triangle des 3 autres points.

3) Le triangle et 2 points intérieurs
Une seule intersection, donc toujours un segment "passe en dessous" qui, associé au point d'observation, constitue un triangle imbriqué avec celui formé par les 3 autres points.

par **Imod** » 06 Mar 2009, 00:11

Bonsoir nodgim .

Je suis très mauvais lecteur et il y a pas mal de choses que je ne comprends pas :cry:

1) le pentagone "il y a toujours une diagonale qui va couper l'une par dessus et l'autre par dessous" , ça à l'air tout à fait vrai mais comment le justifier ?
2) le quadrilatère avec un point à l'intérieur , je ne comprends pas ce que tu appelles les cinq diagonales et les trois intersections :doh: :doh: :doh:
3) Ne manquerait-il pas le cas d'un triangle avec deux points à l'intérieur ?

Imod

par **nodgim** » 06 Mar 2009, 07:05

Imod a écrit:Bonsoir nodgim .

Je suis très mauvais lecteur et il y a pas mal de choses que je ne comprends pas

1) le pentagone "il y a toujours une diagonale qui va couper l'une par dessus et l'autre par dessous" , ça à l'air tout à fait vrai mais comment le justifier ?
2) le quadrilatère avec un point à l'intérieur , je ne comprends pas ce que tu appelles les cinq diagonales et les trois intersections :doh: :doh: :doh:
3) Ne manquerait-il pas le cas d'un triangle avec deux points à l'intérieur ?

Imod

Bonjour Imod,
J'ai corrigé selon tes remarques. Pour les "passe au dessus" j'ai dessiné une sorte de pont pour bien visualiser.
J'espère avoir fait le tour complet du problème.

par **Imod** » 06 Mar 2009, 19:47

Je regarde ce que tu as fait ce soir mais au premier coup d'oeil ça ressemble beaucoup à l'étude des différents polyèdres formant l'enveloppe convexe des six points ( je sais que ça marche mais c'est lourd ) .

Imod

par **Doraki** » 09 Mar 2009, 14:30

Si on place A,B,C,D,E,F tels que les tétraèdres ABCD, DABE, DBCE, DCAE sont directs et les tétraèdres ABCE, ABCF, DABF sont indirects, alors les triangles ABC et DEF sont inséparables.

Je choisis donc l'orientation des 8 autres tétraèdres au hasard, et modulo les 720 permutations des points et changement d'orientation, ces configurations recouvrent tous les cas possibles sauf un, dont il suffit de vérifier qu'il est impossible à réaliser. (du style on peut pas découper un cercle en 8 avec 3 droites)

(je suis un bourrin).

par **Imod** » 09 Mar 2009, 17:46

Doraki a écrit:je suis un bourrin

Mais non :dingue2: :eek:

Imod

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