Inegalité tres joli !!! ;)

par **Anonyme** » 06 Avr 2006, 19:51

x,y,z > 0 et xyz =< 1

Montrez que x/y+y/z+z/y >= x+y+z

merci bcp

par **Zebulon** » 06 Avr 2006, 20:06

Bonsoir,
n'est-ce pas plutôt:
montrer que

?
Zeb.

par **Anonyme** » 06 Avr 2006, 20:07

oui, excusez moi :)

par **Anonyme** » 06 Avr 2006, 21:35

J'ai trouvé seulement:

a=x/y, b=y/z, c=z/x

Utilise AM-GM

a+b+c >= 3

par **ENS** » 08 Avr 2006, 20:15

Comme

, on a

. En particulier,

,

et

. En prenant la somme des ces trois dernières inégalités et en divisant le resultat par

on conclut.

par **Zebulon** » 09 Avr 2006, 09:41

ENS a écrit:Comme , on a . .

Bonjour,
ceci est faux:on pourrait avoir x>1,

et z=1 et une des inégalités est dans le mauvais sens... :mur:
Zeb.

par **ENS** » 09 Avr 2006, 13:40

Milles pardons, il faut vraiment être plus propre.

par **ENS** » 09 Avr 2006, 14:20

Alors, on peut utiliser l'inégalité de Holder avec

pour

arbitrairement petit. Dans ce cas

. On obtient

(attention, l'inégalité de Holder a le sens "réciproque" car

). Avec

, le première facterur tends à

et le deuxième à

. Donc en limit (et en supprimant le facteur

à droite) on obtient

.

par **ENS** » 09 Avr 2006, 15:19

Ok, on peut faire comme ça. Si

et vérifier que le minimum est plus grand que 0. Le calcul pour ça est bien direct mais un peut dificile pour écrire donc je n'écris le pas ici.

par **ENS** » 24 Avr 2006, 22:30

Voilà une solution courte:

Par MA-MG on a

. De manière analogique on a

et

. En sommant, on conclut.