soit a,b,c > 0 verifiants a+b+c=abc
determiner le max de
Ineg
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par Ben314 » 18 Juin 2010, 10:05
Salut,
Il pourrait être assez astucieux de poser)
, )
et )
: cela simplifie grandement le problème...
Il pourrait être assez astucieux de poser
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Olympus » 18 Juin 2010, 11:27
Je suis pas trop à l'aise avec ce genre d'exos ( y a une méthode par étude de fonctions mais boff ... ), mais voici ce que j'ai trouvé pour l'instant avec Jensen ( ma première utilisation donc elle risque d'être fausse ) : 
.
Je suis par contre sûr qu'il devrait y avoir mieux .
J'y travaille encore bien sûr ! :we:
Je suis par contre sûr qu'il devrait y avoir mieux .
J'y travaille encore bien sûr ! :we:
par windows7 » 18 Juin 2010, 13:16
Ben314 a écrit:Salut,
Il pourrait être assez astucieux de poser
je n'y avais pa pensé
par windows7 » 18 Juin 2010, 13:21
Olympus a écrit:Je suis pas trop à l'aise avec ce genre d'exos ( y a une méthode par étude de fonctions mais boff ... ), mais voici ce que j'ai trouvé pour l'instant avec Jensen ( ma première utilisation donc elle risque d'être fausse ) :
Je suis par contre sûr qu'il devrait y avoir mieux .
J'y travaille encore bien sûr ! :we:
au passage on peut s'en sortir avec 2 inegalités que tu connais tres bien
par Olympus » 18 Juin 2010, 14:07
Pour la preuve :
Le problème est de trouver la meilleure constante K telle que :
}{abc} + 1}} \leq K)
\left(a+b\right)}} \leq K)
Par Cauchy-Schwarz on a :
\left(a+b\right)}} \leq \sqrt{ \left(ab+bc+ca\right)\left(\bigsum_{cyc} \frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)} \right)} = \sqrt{ 2 \frac{ \left( a+b+c \right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right) \left(b+c\right) \left(c+a\right)}} = \sqrt{ 2 + \frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}} \leq \sqrt{2 + \frac{2 abc}{8abc}} = \frac{3}{2})
La dernière inégalité est donnée par AM-GM .
Sauf erreur .
Le problème est de trouver la meilleure constante K telle que :
Par Cauchy-Schwarz on a :
La dernière inégalité est donnée par AM-GM .
Sauf erreur .
par Olympus » 18 Juin 2010, 17:47
@Ben314 :
Pour ta substitution, en effet elle est aussi élégante, mais ce sera une substitution avec les sinus pour moi ^^
Nous avons \in \mathbb{R}^*_+)
, donc  \in \mathbb{R}^*_+}\ /\ \left(x;y;z\right) = \left( a+b; b+c; c+a \right))
Il est clair que
sont les longueurs de côtés d'un triangle de demi périmètre 
.
Donc \left(a+b\right)}} = \sqrt{\frac{\left(p-z\right)\left(p-x\right)}{zx}} = \sin \frac{\beta}{2})
Et on fait de même avec les autres permutations, avec
les angles de notre triangle .
Mais on a
D'où le résultat .
Pour ta substitution, en effet elle est aussi élégante, mais ce sera une substitution avec les sinus pour moi ^^
Nous avons
Il est clair que
Donc
Et on fait de même avec les autres permutations, avec
Mais on a
D'où le résultat .
par windows7 » 18 Juin 2010, 17:48
Olympus a écrit:J'ai trouvé avec AM-GM et C.S,?
oui c'est exact
pour develloper un peu l'idée de ben avec son changement de variable
on se ramene a cos(x)+cos(y)+cos(z)
par Olympus » 18 Juin 2010, 17:50
windows7 a écrit:oui c'est exact
pour develloper un peu l'idée de ben avec son changement de variable
on se ramene a cos(x)+cos(y)+cos(z)
cos(x)+cos(y)+cos(z) < sin(x/2)+sin(y/2)+sin(z/2) < 3/2 avec x+y+z=pi .
Je t'ai grillé ^^
par windows7 » 18 Juin 2010, 17:51
Olympus a écrit:cos(x)+cos(y)+cos(z) < sin(x/2)+sin(y/2)+sin(z/2) < 3/2 avec x+y+z=pi .
Je t'ai grillé ^^
ja vu ca :p
par Olympus » 18 Juin 2010, 17:58
Je n'ai pas vraiment quelque chose d'intéressant ( la plupart des inégalités dont je me rappelle sont des inégalités polynomiales ^^ ), je vais fouiller mes cahiers d'olympiade pour voir si je trouve quelque chose .
par kasmath » 19 Juin 2010, 14:10
Olympus a écrit:Pour la preuve :
Le problème est de trouver la meilleure constante K telle que :
Par Cauchy-Schwarz on a :
La dernière inégalité est donnée par AM-GM .
Sauf erreur .
non c'est faux
car si en prend
par kasmath » 19 Juin 2010, 14:25
Olympus a écrit:@kasmath : relis la condition a+b+c=abc
ok désoler
par kasmath » 20 Juin 2010, 20:15
bon j'ai essayer de trouver le vrais max est j'ai trouvez que le vrai max c'est 
alors je commence par définir une simple fonction
=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}})
il est défini sur 
puisque l'exercice s'interesse que pour les variables (positif+non nul)
alors
on choisie notre variable strictement positif on aplique maintenent
Ineq de Jensen's est sa donne facilement
 +\frac{1}{3} f(b)+\frac{1}{3}f(c) \le f(\frac{a+b+c}{3})=f(\frac{abc}{3})=\frac{1}{\sqrt{\frac{(abc)^2}{3}+1}} \le \frac{1}{2})
alors je commence par définir une simple fonction
alors
on choisie notre variable strictement positif on aplique maintenent
Ineq de Jensen's est sa donne facilement
par Olympus » 20 Juin 2010, 20:29
Prend 
...
EDIT : au passage, t'as oublié de multiplier par 3 le tout .
EDIT : au passage, t'as oublié de multiplier par 3 le tout .
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