Généralisation du théorème de Napoléon

par **Zweig** » 31 Aoû 2008, 14:16

Bonjour,

On construit sur les côtés d'un triangle ABC trois

-gones réguliers, de sorte que ces

-gones soient extérieurs au triangle ABC. Déterminer toutes les valeurs de

tels que les centres de ces trois

-gones forment un triangle équilatéral.

par **Imod** » 01 Sep 2008, 11:35

Pour n=3 c'est un résultat connu . Pour les autres valeurs de n cela mérite réflexion .

Imod

par **Zweig** » 01 Sep 2008, 11:59

Salut,

En fait, c'est la seule solution possible :we:

par **Zweig** » 21 Sep 2008, 15:12

Personne n'a de pistes ?

par **Zweig** » 21 Oct 2008, 21:35

Salut,

Bon bah comme tout le monde sèche (ou que peronne n'a cherché :ptdr: ), je donne la réponse :

Soient

,

et

les centres des n-gone réguliers construits sur les côtés

,

et

respectivement.

Les angles

,

et

ont comme mesure

. On pose

et on note

,

et

les coordonnées respectives des points A, B, C,

,

et

.

En utilisant la formule de rotation, on obtient :

Ainsi,

,

et

Or le triangle

est équilatéral si et seulement si :

En substituant les valeurs de

,

et

on obtient :

Qui est équivalent à :

Il s'ensuit que

, c'est-à-dire

. Ainsi

.

En définitive, seule

répond au problème.