F o f=exp

[ffpower]

Je vais imiter Nightmare et poser mes exos suivants ici, ils coulent trop vite dans le forum sup :
Donc voilà l'exercice est : montrer qu'il n'existe pas de fonction continue f sur C telle que f o f=exp.
Faisable avec outils terminale ( pour qui connait le théoreme des valeurs intermédiaires )

[benekire2]

continue sur C je ne sais pas , mais sur R il y en a une , je vais y réfléchir. En tout cas c'est pas simple ...

[Imod]

Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue f sur C telle que f o f=exp. Faisable avec outils terminale ( pour qui connait le théoreme des valeurs intermédiaires )

Théorème des valeurs intermédiaires sur ?

Imod

[ffpower]

Certes, c'est une variante du TVI : le fait qu'une fonction continue à valeurs dans {0,1} est constante..

[Imod]

Ou l'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe , il sont costauds nos nouveaux Term S :we:

Imod

[ffpower]

Voui, le fond du truc c'est la connexité de C mais si f(a)=0, f(b)=1, on applique le TVI à g(t)=Re(f(ta+(1-t)b)) pour aboutir à une contradiction. Donc c'est une conséquence du TVI. Donc j'ai pas menti^^

[Ben314]

Bon, j'ai (fastoche) et mais j'arrive pas à conclure...

[ffpower]

C'est le bon début :we:

[Ben314]

J'ai enfin la fin :
Comme , il existe tels que et .
Comme on peut même choisir et tels que et soient dans .
maizalors donc où et compte tenu des hypothèses faites sur les parties imaginaires de et , on a forcément ce qui est légèrement en contradiction avec le fait que !

[Imod]

Je suis d'accord avec cette fin mais je ne vois pas trop à quel moment on utilise la continuité de f :hein:

Imod

[Ben314]

C'est pour montrer que f(z+2i.pi)=f(z) :
1) foexp=fofof=expof
2) expof(z+2ipi)=foexp(z+2ipi)=foexp(z)=expof(z) donc f(z+2ipi)=f(z)+2k(z)ipi où k(z) est un entier qui, à priori, dépend de z
3) k(z)=[f(z+2ipi)-f(z)]/(2ipi) est une fonction continue (puisque f l'est) de C dans Z : elle est donc forcémént constante donc k(z)=k est indépendant de z.
4) de f(z+2ipi)=f(z)+2kipi on déduit (récurence) que, pour tout entier n,
f(z+2nipi)=f(z)+2knipi donc
exp(z)=exp(z+2ipi)=fof(z+2ipi)=f(f(z)+2kipi)=fof(z)+2k²ipi=exp(z)+2k²ip
ce qui montre que k=0.

[Imod]

D'accord , très sympa cet exo :we:

Je crois me souvenir que sur c'est une autre histoire :zen:

Imod

[ffpower]

C'est quasiment ce que j'ai fait, bien joué ( comme d'hab^^). Petites remarques :
-de b=a+2ikpi, on en déduit f(a)=f(b) par ce que tu as fait avant, ce qui suffit pour conclure, donc c'est pas forcément la peine d'imposer de conditions pour que a=b
-à partir de f(z+2ipi)=f(z)+2ikpi, un autre moyen de prouver la nullitude de k et de de dire que f évite 0, et que donc cette relation implique que f évite 2ikpi, or f(C)=C*, donc nécéssairement k=0. Voilà c'est ni plus compliqué ni plus simple que ta méthode, mais c'est un autre moyen^^

Imod : sur R, de telles fonctions existent. Elles se construisent en gros en les définissant sur un intervalle de maniere a ce qu'elle vérifie certain trucs, puis en la prolongeant de proche en proche ( en gros le moyen classique de construire des solutions tordues a certaines equations fonctionnelles ). Et je crois bien d'ailleurs qu'on peut construire par ce procédé de telles fonctions C infinies. Reste le cas ou f est supposée localement analytique, qui est une question posée dans une rms. J'ai cherché un bon petit moment, mais je n'ai pas réussi à prouver qu'elles n'existent pas, ni à prouver qu'il y en a ( c'est que là, une construction "par morceaux" est à priori à proscrire )

[Anonyme]

Ou l'image d'un connexe par une fonction continue est un connexe ,
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