[Géométrie] Distance minimale

[benekire2]

Bonjour, petit problème de géométrie "olympique"

Soit (d) et (d') deux droites du plan non parallèles qui se coupent en I. On considère M un point strictement intérieur à l'angle formé par les deux droites, m et n des entiers naturels et une droite passant par M. Cette droite coupe (d) en A et (d') en B.

Trouver la position de la droite de sorte que le réel soit minimal.


Bon travail.

[Zweig]

Salut,

Sauf erreur, le minimum est obtenue lorsque la droite est telle que . Il est clair qu'une telle droite est unique.

Soient K € (IA) et L € (IB) tels que (KM)//(IB) et (ML) // (IA). Dans ces conditions, on a :





Ainsi,



Les points K et L ne dépendant pas de la droite, minorer cette expression revient à majorer le dénominateur. On pose et . Alors et :



d'après AM-GM. D'où,



Le maximum est obtenu lorsque la condition plus haut est remplie.

[benekire2]

Je ne pouvais pas te l'apprendre, sachant que c'est un de tes posts d'un autre forum que j'ai jugé bon de remettre ici :id:

[Zweig]

Oui, je me disais que j'avais déjà vu ce problème quelque part :we:.