Distance minimale point1-cercle-point2

[nodjim]

Bonjour à tous.
Tout est dit ou presque dans le titre. On doit rejoindre, à partir d'un pt 1, un point 2 en passant par un point d'un cercle qui ne coupe pas la droite pt1-pt2.
Construction géométrique possible du trajet le plus court ?
Je ne sais pas faire, cela dit la géométrie et moi...

[Ben314]

Salut,
Il me semble que j'avais cherché dans ma jeunesse le "problème du lac" (en opposition avec le "problème de la rivière" classique) et que ce n'est pas résoluble à la règle et au compas : cela correspond à une équation de degrés 4 qui, sauf cas particuliers, n'est pas résoluble avec seulement du second degrés (c.f. théorie de Galois)

[nuage]

Salut,
à l'intuition, je crois que le minimum est atteint sur le point de contact avec le cercle et une tangente parallèle à la droite pt1 pt2.

Et je serais surpris que le problème soit du quatrième degré.

Je vais essayer de faire le calcul

A+

[miikou]

salut,

j'aurais repondu comme Nuage pour la solution et comme Ben pour le degres de lequation

[Ben314]

salut,

j'aurais repondu comme Nuage pour la solution et comme Ben pour le degres de lequation

ESPECE DE FAYOT !!!

[nodjim]

Pour moi, l'angle au cercle est tel que le rayon qui passe par le point de contact est sa bissectrice, et ça semble "assez" logique. Mais pour la construction.....

[miikou]

ESPECE DE FAYOT !!!

:we: bah quoi c'est clairement une equation de degres 4 ( il faut monter au carré la somme de racinne ), et qq exemples avec des cercles biens choisis me laissent penser comme nuage

[Ben314]

Pour moi, l'angle au cercle est tel que le rayon qui passe par le point de contact est sa bissectrice, et ça semble "assez" logique. Mais pour la construction.....

C'est effectivement une propriéé des reflexion (comme dans le problème de la rivière).
Un autre facon de voir que c'est bien ça c'est de constater que les points M tels que MA+MB=cst (où A et B sont les deux points) est une élipse.
On cherche donc l'élipse de foyers A et B tangente au cercle en un point M et, vu que la tangente à une élipse en M est la bisectrice extérieure de MAB et que la tangente à un cercle est la perpendiculaire au rayon, c'est bien que le rayon est la bisectrice intérieure issue de M.

[Doraki]

Je tombe sur une équation de degré 6 :/

[Ben314]

Je tombe sur une équation de degré 6 :/

Je t'avoue que j'ai plus le détail des calculs que j'avais fait (c'était il y a 20 ans) donc mon "degrés 4" était un peu au pif...
Par contre, je crois me souvenir que j'avais vérifié au moins sur un exemple que les racines ne s'expriment pas avec "uniquement du second degrés"...

P.S. Pour le degrés 4, j'ai sans doute confondu avec le problème classique des deux echelles au fond d'un puit qui, lui non plus, n'est pas résoluble à la règle et au compas...

[nodjim]

En posant ce problème, je viens de comprendre pourquoi le plus court réseau qui relie 3 points est celui en étoile qui passe par un point dont les branches sont à 120°.