Désordre

[Buridan]

1ère transformation:
ANIMAL --> ANMIAL --> AIANML --> NMLAIA

2e transformation:
NMLAIA --> NMALIA et ainsi de suite...

Combien de fois faudra-t-il transformer un mot de 10 lettres pour qu'il revienne dans son état initial ?

[Ben314]

Salut,
J'ai pas bien compris...
Vu l'exemple que tu donne il semblerais que, dans un mot de 2n lettres on commence par échanger la n-ième et la (n+1)-ième, puis les (n-1)-ième et n-ième avec a (n+1)-ième et la (n+2)-ième (en respectant l'ordre dans lequel elle sont), etc etc.
Déjà, c'est bien cette règle là dont tu ne donne qu'un cas particulier ?

Ensuite, une fois qu'on a échangé les n premières avec les n dernières, (ta 3-em transformation), on fait quoi ?

[Ben314]

Si c'est bien le cas, on montre facilement par récurrence que, partant d'un "mot" de longueur 2n M=(1,2,3..,n,n+1,...,2n), après les n premières étapes, on obtient M'=(2,4,6,...2n,1,3,5,...,2n-1).
Si on note cette permutation (départ->étape n) on a donc (bijection de sur lui même).
L'ordre de cette permutation est l'ordre de 2 dans le groupe des éléments inversibles de l'anneau .
On peut en déduire en général que cet ordre divise l'ordre de , c'est à dire (indicatrice d'euler).
Dans le cas où 2n=10 et on vérifie facilement que 2 est d'ordre 10 donc il faut appliquer 10 fois pour retomber sur le mot de départ.

[Buridan]

Salut,
J'ai pas bien compris...
Vu l'exemple que tu donne il semblerais que, dans un mot de 2n lettres on commence par échanger la n-ième et la (n+1)-ième, puis les (n-1)-ième et n-ième avec a (n+1)-ième et la (n+2)-ième (en respectant l'ordre dans lequel elle sont), etc etc.
Déjà, c'est bien cette règle là dont tu ne donne qu'un cas particulier ?

Ensuite, une fois qu'on a échangé les n premières avec les n dernières, (ta 3-em transformation), on fait quoi ?

Ensuite, tu reviens à ta première transformation...
Sur un mot de 10 lettres, une fois que tu as inversé les 5 premières lettres, tu reprends le principe de la 1ère transformation et ainsi de suite jusqu'à ce que le mot revienne à sa position de départ.
Tu peux prendre ABCDEFGHIJ pour l'application.

[Ben314]

Dans ce cas, pour un mot de longueur 2n, il faut n.d transformations où d est l'ordre de 2 dans (Z/(2n+1)Z)*. Pour n=5, ça fait 5.10=50.

[Buridan]

Dans ce cas, pour un mot de longueur 2n, il faut n.d transformations où d est l'ordre de 2 dans (Z/(2n+1)Z)*. Pour n=5, ça fait 5.10=50.

OK, mais mea culpa, je me suis planté... :mur:

Je corrige l'énoncé.