Découpe minimale...

par **Ben314** » 07 Fév 2010, 18:53

Salut,
Pour ne pas donner que du "complètement trivial" (dixit Imod ) j'en donne un autre, pas super dur non plus...
On veut couper un triange équilitéral en deux parties de même surface avec un seul trait de coupe (pas forcément droit) :

On aimerait que la longueur du trait de coupe soit minimale...

par **Nightmare** » 07 Fév 2010, 19:23

Salut,

je n'arrive pas à voir plus court que la solution simple de la coupe parallèle à l'un des côté.

par **Ben314** » 07 Fév 2010, 19:25

Ah Ah Ah , j'en ai au moins eu un... : il y a (un peu) plus court

P.S. j'attend une preuve...

par **Nightmare** » 07 Fév 2010, 19:30

Je suppose que le "pas forcément droit" doit jouer un peu !

par **Ben314** » 07 Fév 2010, 19:40

A toi de voir... (je te rapelle que c'est une énigme... :zen: )

par **ffpower** » 07 Fév 2010, 19:43

Si je me suis pas trompé dans les calculs, on peut rentrer dans le triangle un cercle dont l aire vaut la moitié de celle du triangle. Et l inégalité isopérimétrique ( que je sais pas démontrer..) dit que c est le cercle qui donne le meilleur rapport aire/périmetre..

par **nodgim** » 07 Fév 2010, 19:49

0.673... si la base vaut 1, c'est la longueur de l'arc de cercle dont le centre est l'un des sommets, et qui coupe le triangle en 2 aires égales. Pas évident à montrer qu'il n'y a pas plus court...

Si on met 6 triangles identiques cote à cote pour faire un hexagone, l'aire des 6 secteurs angulaires forme un cercle dont on connait bien la propriété aire-périmètre.

par **Ben314** » 07 Fév 2010, 20:26

nodgim a écrit:Si on met 6 triangles identiques cote à cote pour faire un hexagone, l'aire des 6 secteurs angulaires forme un cercle dont on connait bien la propriété aire-périmètre.

JACKPOT !!!

par **Nightmare** » 07 Fév 2010, 20:32

Très joli ...

par **Imod** » 07 Fév 2010, 23:14

Très joli et pas complètement trivial :marteau:

Imod

par **Ben314** » 07 Fév 2010, 23:42

Tient, à propos, et si le triangle n'est pas équilatéral ?

P.S. : J'ai pas la réponse dans ce cas (si elle existe !!!) donc chacun peut y aller d'un cas particulier : isocèle (me semble facile si l'angle est "petit" (?) , mais quel est le bon argument ?), rectangle (???), quelconque (!!!)

Edit : je vote pour "un arc de cercle perpendiculaire à deux cotés du triangle" avec des cas dégénérés où c'est une des hauteur du triangle...

par **nodgim** » 09 Fév 2010, 17:17

Pour un triangle quelconque, pourquoi serait ce différent ?
On repère l'angle le plus faible, le sommet correspondant sera le centre du secteur augulaire, comme dans le dessin avec le triangle équilatéral. Il est à noter que le secteur angulaire n'inclut jamais les 2 autres sommets.

par **Imod** » 09 Fév 2010, 18:24

nodgim a écrit:Pour un triangle quelconque, pourquoi serait ce différent ?

Même si intuitivement c'est vrai , il faudrait quand même justifier un minimum :doh:

1°) Pourquoi l'angle le plus petit ?
2°) En assemblant plusieurs triangles on ne réalise pas forcément un exact tour complet , alors comment utiliser l'argument de l'isopérimètre ?

Imod

par **Ben314** » 09 Fév 2010, 19:03

Pour le 2) un argument (d'analyste et pas de géomètre) est de mettre les triangles cote à cote et, a la fin, lorsque l'angle est trop petit, c'est pas grave, on continue à en mettre un autre qui passe par dessus le premier.
A force de faire des "couches" on va retomber sur le triangle de départ "à epsilon aussi petit que l'on veut prés" (par densité) et l'inégalité isopérimétrique s'applique aussi pour une courbe qui fait plusieurs fois le tour (et elle s'applique "à epsilon prés" si le dernier tour est fini "à epsilon prés")
Bon, c'est pas beau et je suis pas sûr que tout le monde soit parfaitement convaincu (m'en fout, moi, ça me convaic !!! :zen:)

Pour le 1) J'aurais tendance à étudier les trois angles, mais il y a un soucis lorsque, partant de cet angle, le cercle "déborde" du triangle (si l'angle est le plus petit, je fait confiance à nodgim : le cercle ne "déborde" pas)
Je me demande si dans le cas d'un angle 'trop grand', on n'as pas des cas particuliers. Pour un triangle isocèle en A et dont l'angle en A vaut 179°, j'ai quand même l'impression que la meilleure découpe est la hauteur issue de A.

par **nodgim** » 09 Fév 2010, 19:41

Ben314 a écrit:Pour le 2) un argument (d'analyste et pas de géomètre) est de mettre les triangles cote à cote et, a la fin, lorsque l'angle est trop petit, c'est pas grave, on continue à en mettre un autre qui passe par dessus le premier.
A force de faire des "couches" on va retomber sur le triangle de départ "à epsilon aussi petit que l'on veut prés" (par densité) et l'inégalité isopérimétrique s'applique aussi pour une courbe qui fait plusieurs fois le tour (et elle s'applique "à epsilon prés" si le dernier tour est fini "à epsilon prés")
Bon, c'est pas beau et je suis pas sûr que tout le monde soit parfaitement convaincu (m'en fout, moi, ça me convaic !!! :zen:)
.

C'est exactement à la même conclusion à laquelle je suis arrivé, et le même argument, mais que j'ai vite abandonné, car le rapport aire/périmètre est inchangé sur un cercle complet ou sur un secteur.

Ben314 a écrit:
Pour le 1) J'aurais tendance à étudier les trois angles, mais il y a un soucis lorsque, partant de cet angle, le cercle "déborde" du triangle (si l'angle est le plus petit, je fait confiance à nodgim : le cercle ne "déborde" pas)
Je me demande si dans le cas d'un angle 'trop grand', on n'as pas des cas particuliers. Pour un triangle isocèle en A et dont l'angle en A vaut 179°, j'ai quand même l'impression que la meilleure découpe est la hauteur issue de A.

J'ai aussi réfléchi à l'isocèle et il me semble que ça reste bon. Toujours pour la raison primitive qu'a surface égale, c'est le cercle (ou son arc) qui reste le + petit périmètre.
Pour Pi/30, par exemple, l'arc est + petit que la hauteur.

par **Ben314** » 09 Fév 2010, 20:24

nodgim a écrit:... car le rapport aire/périmètre est inchangé sur un cercle complet ou sur un secteur....

Effectivement, c'est bien mieux comme argument, mais comment le prouve tu ? (en admettant le cas du cercle complet)
Pour le 1), j'ai toujours pas fait le "petit calcul" pour voir ou tombe le rayon du cercle qui coupe le surface en deux (mais je vais le faire... aprés le repas)

par **beagle** » 09 Fév 2010, 21:00

" Pour un triangle isocèle en A et dont l'angle en A vaut 179°, j'ai quand même l'impression que la meilleure découpe est la hauteur issue de A."
L'argument semble recevable,
on le met où l'arc de cercle plus petit?

par **nodgim** » 09 Fév 2010, 21:08

beagle a écrit:" Pour un triangle isocèle en A et dont l'angle en A vaut 179°, j'ai quand même l'impression que la meilleure découpe est la hauteur issue de A."
L'argument semble recevable,
on le met où l'arc de cercle plus petit?

Le rayon de cet arc est supérieur à la 1/2 base du triangle, mais inférieur à son petit coté. Avec un angle de 179°, l'arc ressemble beaucoup à un segment de droite!

par **nodgim** » 09 Fév 2010, 21:17

Ben314 a écrit:Effectivement, c'est bien mieux comme argument, mais comment le prouve tu ? (en admettant le cas du cercle complet)
Pour le 1), j'ai toujours pas fait le "petit calcul" pour voir ou tombe le rayon du cercle qui coupe le surface en deux (mais je vais le faire... aprés le repas)

Par la symétrie dans le cercle: L'arc vaut 2 fois la racine carrée du produit de la surface du secteur par pi. Quelle que soit la valeur de cet arc.

par **beagle** » 09 Fév 2010, 21:24

OK, merci,
mais je veux bien une petite figure si vous avez cela en magasin.

Découpe minimale...

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