Découpe minimale...

[scelerat]

" Pour un triangle isocèle en A et dont l'angle en A vaut 179°, j'ai quand même l'impression que la meilleure découpe est la hauteur issue de A."
L'argument semble recevable,
on le met où l'arc de cercle plus petit?

Si je colle un deuxieme triangle symetrique au premier, je fais un losange d'angles aux sommets 1° et 179°. Je peux remplacer ce losange par un triangle isocele de sommet 1°, pour lequel la solution du cercle est, on l'a vu, meilleure que celle de la corde en A.

[beagle]

Je suis désolé d'ètre un peu lourd,
je n'arrive pas à voir où je place l'arc de cercle.
Me faut un gentil petit dessin,
si quelqu'un sait dessiner sur le web.

[scelerat]

Je suis désolé d'ètre un peu lourd,
je n'arrive pas à voir où je place l'arc de cercle.
Me faut un gentil petit dessin,
si quelqu'un sait dessiner sur le web.

Deja je ne sais pas dessiner sur le web, mais en plus tu ne verrais rien avec l'epaisseur des traits ! :marteau:
Si on appelle B et C les sommets autres que A, H le pied de la hauteur issue de A, l'arc de cercle de centre C va de M dans AC tel que AM AC a N dans HB tel que HN AC (et AC HC).

[beagle]

OK, vu merci beaucoup,
je regarde mieux ce soir, là je n'ai plus le temps.
J'adore ce fil,
j'ai pas du lire assez profondément les pages juste avant(sur somme des angles qui font des parties et des tours entiers de cercle).
faut que je dessine un peu, enfin gribouille.

[nodgim]

Si je colle un deuxieme triangle symetrique au premier, je fais un losange d'angles aux sommets 1° et 179°. Je peux remplacer ce losange par un triangle isocele de sommet 1°, pour lequel la solution du cercle est, on l'a vu, meilleure que celle de la corde en A.

Un petit dessin serait le bienvenu.

Pour convaincre les plus réticents:
Soit un triangle rectangle de base B=1, de hauteur H et de petit angle a, a opposé à H.
tg a= H/B=H et la surface S=BH/2=H/2

Le secteur angulaire de même suface et même angle: S=a/2 R²
Comme S=H/2, on a H/2=a/2 R²
H=aR² et R=rac(H/a)
L'arc A vaut A=aR=a*rac(H/a)=rac(aH)=rac(a*tga)
A comparé à H:
rac(a*tga)<tg a car a<tg a

CQFD

[Ben314]

Dans le cas d'un triangle non rectangle, je tombe quand même sur des inéquations "un peu compliquées" (ou alors je m'y prend mal...)

On écrit la "loi des sinus" :
On veut que donc et
minimal, pour minimal, donc on prend
Reste à vérifier "que sa passe" et deux cas se présentent :
1) Si n'est pas sur , c'est à dire , il faut montrer que c'est à dire soit .
Comme , on doit montrer que
Je doit partir....

[scelerat]

1) Si n'est pas sur , c'est à dire , il faut montrer que

La, si je ne me trompe, c'est vite fait par l'absurde : si , alors en tirant la hauteur de C en K, le triangle ACK est totalement inclus dans le secteur, or sa surface est plus grande que celle de CKB puisque , donc fait deja a elle seule plus de la moitie de celle du triangle.

[Ben314]

La, si je ne me trompe, c'est vite fait par l'absurde : si , alors en tirant la hauteur de C en K, le triangle ACK est totalement inclus dans le secteur, or sa surface est plus grande que celle de CKB puisque , donc fait deja a elle seule plus de la moitie de celle du triangle.

Parfaitement exact... (ce qui est bizare, c'est que par du calcul bourrin, c'est super pourri comme preuve !!!)

Dans deuxième cas ou H est sur [BC] et où il faut montrer que R<h me semble avoir été traité par nodgim juste au dessus (mais je comprend pas pourquoi il part d'un triangle rectangle...)

[scelerat]

Dans deuxième cas ou H est sur [BC] et où il faut montrer que R<h...

La surface du triangle vaut et on a , . vaut entre et , vaut au plus puisque c'est le plus petit angle, a partir de la on doit y arriver.

[nodgim]

il part d'un triangle rectangle...)

Salut Ben314
Le triangle rectangle est pour répondre à ta question où tu supposais, par intuition, que la hauteur pouvait être la plus faible des distances qui coupe l'aire du triangle en 2 lorsque l'angle est faible. Mais en répondant à cette question, il semble qu'on ne soit pas loin du résultat général.

Pour être plus clair, le triangle rectangle représente le demi triangle isocèle.