Continu => uniformément continu

[Nightmare]

Tiens, je profite du défi précédent pour poser celui-ci aux grands du forum :

Peut-on caractériser simplement les sous-espaces de R sur lesquels toute fonction continue est uniformément continue? Evidemment (enfin, par théorème...), les compacts fonctionnent, on peut montrer aussi que notre espace est nécessairement fermé. Quoi d'autre?

[Ben314]

La question est un peu "vicieuse" du fait que si on part d'une partie discrète de R, la notion de continuité (uniforme ou pas), ç'est pas super interessant !!!
Cela me conduit à penser que, pour que ça marche, l'ensemble doit être fermé et que l'ensemble de ces points non isolés doit être borné.

Edit : Non, en fait, ça déconne : si F est la réunion de N et des n+1/n avec n dans N* alors toute fonction de F->R est continue (F est discret), mais elles ne sont pas toutes uniformément continues.
Il doit donc falloir définir une notion de partie "uniformément discrète" (il existe epsilon tel que, pour tout x, ]x-epsilon,x+epsilon[ ne contient qu'un point de la partie).
Mon deuxième essai est : Pour que ça marche, il faut et il suffit que F soit fermé et qu'il soit réunion d'une partie bornée et d'une uniformément discrète.

[Nightmare]

Salut Ben ! Je crois bien que ça marche. Il me semble que la condition "bornée et uniformément discrète" se traduit par "il existe un e tel que l'ensemble {x de F pour lesquels il existe y dans F à distance inférieure à e de x } est borné"