Connexité

[Nightmare]

Salut,

pour les lycéens :

1)Exhiber une bijection de [0;+oo[ dans R.
2)Peut-on en trouver une continue?

(Justification niveau terminale)

:happy3:

[Anonyme]

1) f(x) = ln(x+1) si x appartient a N
...........= ln(x) si x appartient a R+/N
(en blanc)

[Anonyme]

2) Non : f(x) est bijective et continue elle est donc strictement monotone avec f([0,+oo[) = ]-oo ; +oo [ . A cause de la stricte monotonie de f(x) il résulte que lim_{x-->0) f(x) = + ou -oo et donc f(x) ne peut pas être défini en 0 ce qui contredit l’hypothèse.


Au fait c'est quoi " Connexité " ? et quel est le rapport avec les questions ?

[girdav]

Au fait c'est quoi " Connexité " ? et quel est le rapport avec les questions ?

Un connexe est un ensemble qui ne peut s'écrire comme réunion de deux ouverts disjoints.
Ce qui sert ici, c'est la caractérisation des connexes de et le fait que l'image d'un connexe par une application continue est un connexe.

[Nightmare]

Qmath >

C'est ok pour les deux. Concernant le titre du topic, le caractère "connexe" est le fait d'être "d'un seul tenant". La connexité est préservée par application continue (c'est le théorème des valeurs intermédiaires). Ici, tout le problème est effectivement en 0. On voit que si on retire 0 à l'ensemble de départ, ce dernier est toujours d'un seul tenant, mais à l'arrivée, ce n'est plus le cas : R-{f(0)} est en deux morceaux.

[Anonyme]

Merci a vous deux. :zen: