Champ de champignons
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Pseuda
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par Pseuda » 29 Juil 2018, 13:05
Bonjour,
Une énigme provenant d'un autre forum.
Dans la communauté rurale du triangle, le registre foncier est constitué de parcelles triangulaires de terre. M. Bubble possède trois parcelles dont il sait que les superficies sont respectivement de 420, 30, 60 m2. Quelle est la superficie du champ de champignons ?
Désolée, pas d'image (au bout d'1 heure d'efforts), je retranscris donc les données du problème :
Soit un triangle ABC, D et E appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AC].
[AD] et [BE] se coupent en O, [OC] et [ED] se coupent en I.
420 m2 = aire du triangle AOE
30 m2 = aire du triangle OID
60 m2 = aire du triangle CID
champ de champignons = triangle ABO
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Ben314
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par Ben314 » 29 Juil 2018, 19:57
Salut,
Je trouve 756 m² (et c'est la moitié de la surface du triangle ABC)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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aviateur
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par aviateur » 29 Juil 2018, 20:47
Bonjour
Je trouve aussi
aire AOE
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Ben314
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par Ben314 » 29 Juil 2018, 21:07
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Pseuda
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par Pseuda » 30 Juil 2018, 10:04
Bonjour,
Bravo à tous les deux ! J'ai dû employer une 3ème méthode, car 756 m2 = aire (AOB) = 6 x aire (BOD).
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aviateur
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par aviateur » 30 Juil 2018, 13:06
Pseuda a écrit:J'ai dû employer une 3ème méthode
Bonjour
Ce n'est pas si sûr. En effet dans nos réponses personne n'indique sa méthode.
Du coup j'explique dans les grandes lignes comment j'ai fait.
Je pose x=CE/CA et y=CD/CB et pour faire simple je suppose que l'aire de ABC est égal à 1.
Les calculs d'aire de chaque triangle sont des fonctions de x et y. Comme 3 aires sont données
j'ai deux rapports d'aire qui me donnent 2 équations à 2 inconnues. Au demeurant je remarque que aire de AOB=1/2 mais surtout aire de AOE=5/18. D'où le résultat.
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nodgim
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par nodgim » 30 Juil 2018, 13:08
Marrant ce truc.
Assez court finalement.
J'y suis allé de proche en proche, d'abord en exprimant CE/EA de 2 façons différentes, qui aboutit à une équation du 2ème degré, et donne les aires: CEI = 80 et OEI = 40.
Même méthode pour trouver BDO = 126.
Et le final est facile.
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nodgim
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par nodgim » 30 Juil 2018, 13:09
Réponse croisée avec Aviateur.
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Pseuda
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par Pseuda » 31 Juil 2018, 20:54
Bonsoir,
Grosso modo, j'ai fait comme nodgim (mais au départ en plus compliqué encore).
Avec l'habitude, on se rend compte qu'il y a tout un tas de situations de proportionnalités dans ce problème, dès que 2 triangles ont un coté commun et une même droite de base, leurs aires sont proportionnelles à la longueur de leurs segments de base (puisqu'ils ont même hauteur).
Ce qui serait amusant, ce serait de dénombrer le nombre de situations de proportionnalités dans cette configuration. En les conjuguant, cela fait autant de méthodes (c'est un bien grand mot, de façons plutôt) de résoudre le problème.
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