Caractérisation de la dérivation

[Nightmare]

Salut !

J'aime beaucoup l'exercice suivant, abordable au lycée, pour les plus courageux :

Contexte du problème :

La dérivation est une application qui opère sur les fonctions dérivable. On sait bien qu'elle est linéaire, c'est à dire que la dérivée de 0 est 0, la dérivée de f+g est f'+g' et la dérivée de est .
La notion de dérivée est intimement liée aux variations de la fonction, et plus particulièrement, on sait par exemple que toute fonction qui est dérivable et qui admet un extremum en un point y voit forcément sa dérivée s'annuler. Vient alors naturellement le problème suivant qui consiste à caractériser les applications qui vérifient cette propriété pour des fonctions de classe C^2 et pour les fonctions continues :

Vocabulaire pour le problème :

- désigne l'ensemble des fonctions de classe , ie n fois dérivables et dont la dérivée n-ème est continue sur [a,b] (à valeur dans R). désigne l'ensemble des fonctions continues sur [a,b].

- Un opérateur D désigne une application linéaire d'un ensemble de fonction dans un autre, c'est à dire tel que :

1) (0 désignant dans les deux occurrences l'application constante égale à 0)
2) pour toutes fonctions f et g
3) pour tout réel et toute fonction f

D(f) est donc une fonction (l'image de f par D), ainsi D(f)(x) désigne l'image de x par D(f).

Le préambule vous fait remarquer que la dérivation est un opérateur.

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Problème :

On considère un opérateur tel que si est une fonction de classe et si elle présente un maximum local en alors .

1) Montrer qu'il existe un application continue telle que pour toute fonction de classe sur [a,b],

2) Que dire de D s'il vérifie la même propriété en remplaçant par ?

Seul outil hors niveau lycée nécessaire : un des théorèmes de Taylor.

Amusez-vous bien.

:happy3:

[Anonyme]

Une petite remarque: il faut que tu change le "a" dans la donnée question car il peut y avoir confusion avec la borne de l’intervalle.

[Nightmare]

Bien vu merci !

[Matt_01]

Y avait une épreuve d'ens qui traitait des opérateurs de dérivation dans certains ensembles, qui ressemblait un peu à cela (en un peu plus poussé).

[Nightmare]

Si tu as un lien je suis preneur, j'ai justement en tête quelques résultats supplémentaires, mais d'autres sources sont bienvenues !

Bon, pour ceux qui ont du mal à débuter le sujet, voici quelques pistes :

Dans un premier temps, il faut fixer h, c'est à dire savoir plus ou moins qui va jouer son rôle. Pour ça, il suffit de prendre f judicieusement.

Ensuite, rappelons que D(f) et hf' sont des fonctions, donc montrer qu'elles sont égales revient à montrer qu'elles coïncident en tout point, ou de manière équivalente de montrer que D(f)-hf' est nulle en tout point. Ca tombe presque bien, dans l'énoncé, on sait que pour une fonction g, D(g) va s'annuler en les maxima de g, donc l'idée naturelle va être, en un réel x fixé, de choisir convenablement g de sorte que :

1) g présente un maximum local en x
2) D(g)=D(f)-hf'

Je n'en dis pas plus c'est déjà beaucoup avec l'indice du premier post :lol3: